A
lo largo de la historia de la arqueología egipcia se han ido encontrando distintos
restos en los que aparecen las matemáticas. Entre ellos destaca la maza del rey
Narmer (considerado el unificador del Alto y del Bajo Egipto), la cual data del
3000 a.C. y hasta la fecha es el resto arqueológico más antiguo con relevancia en
el campo matemático.
Tipos de escritura y
papiros
Escritura
jeroglífica: usada desde el 3200 a.C. hasta aproximadamente el 2500 a.C. En este
período la numeración usada era similar a la mostrada en la siguiente tabla
Escritura hierática: usada predominante desde el 2500
a.C. hasta aproximadamenteel600a.C.Aligualqueantes, la numeración usada varió con
el tipo de escritura, dando lugar a una mayor riqueza en el número de símbolos
usado para escribir distintas cifras.
Escritura demótica: usada en el período tardío de la cultura
egipcia, desde el 600 a.C. en adelante. Esta última variación en la escritura
también produjo una leve variación en los símbolos usados para los números con
respecto a la escritura hierática.
Dominaron los números y
sus operaciones
Conocieron los números naturales y los
racionales positivos de numerador 1, su aproximación al valor de p=3'16 fue la
más acertada en la antigüedad. Resolvían ecuaciones de segundo grado y raíces
cuadradas para aplicarlas a los problemas de áreas.
Aunque la suma funcionaba bien, el
sistema de numeración egipcio presentaba algunas dificultades aritméticas entre
las que destaca la práctica imposibilidad de organizarlos para multiplicar. Sin
embargo consiguieron que la aritmética fuera su fuerte; la multiplicación y las
fracciones no tenían secretos para ellos. La multiplicación se realizaba a
partir de duplicaciones y sumas, y en la división utilizaban la multiplicación
a la inversa.
El sistema de numeración egipcio, era
un sistema decimal (de base 10) por yuxtaposición, así sus números se escribían
de la siguiente manera:
Los
egipcios utilizaron las fracciones cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es 2,
3, 4,..., y las fracciones 2/3 y 3/4 y con ellas conseguían hacer cálculos fraccionarios
de todo tipo. Su notación era la siguiente:
La
geometría de los egipcios
Como ya hemos dicho antes, los
conocimientos geométricos de los egipcios también eran considerables. Sin
dichos conocimientos no habrían podido construir las pirámides o medir tierras,
etc... La geometría egipcia junto a la babilónica, fue la precursora de la
potente geometría griega. Los primeros matemáticos griegos (Tales de Mileto,
Pitágoras,...) viajaron por Babilonia y Egipto antes de realizar sus tratados.
Dominaban perfectamente los
triángulos gracias a los anudadores. Los anudadores egipcios hacían nudos
igualmente espaciados que servían para medir; fueron los primeros en observar
que uniendo con forma de triángulo, cuerdas de ciertas longitudes se obtiene un
ángulo recto, también conseguían mediante estos nudos triángulos rectángulos.
Pitágoras recogió toda esta experiencia geométrica para su teorema. Es decir,
los egipcios ya conocían la relación entre la hipotenusa y los catetos en un
triángulo rectángulo. Utilizaban el más tarde se conoció como Teorema de
Pitágoras, pero de forma práctica, no sabían demostrarlo.
Entre las fórmulas que tenían para
medir áreas, se pueden citar las de superficie del cuadrado (a partir del
triángulo), del rectángulo, del rombo y del trapecio. En cuanto al área del
círculo utilizaron una fórmula que daba a p un valor bastante aproximado. En el
Papiro de Rhind encontramos:
Ecuaciones y sistemas de
ecuaciones
Por necesidades de reparto de víveres,
salarial o de tierras, los escribas tuvieron que ser capaces de solventar
distintos problemas, los cuales podrían ser reescritos en nuestros días como ecuaciones
de primer grado o incluso como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
En particular, en los siguientes ejemplos, veremos algunas de las resoluciones
originales mostradas en los papiros:
Problema 63 del papiro de Rhind: se quieren
repartir 700 panes entre 4 hombres, con 2/3 para el primero, 1/2 para el
segundo, 1/3 para el tercero y 1/4 para el cuarto. Calcular la parte de cada
uno.
Solución: es claro que 2/3 + 1/2 + 1/3 + 1/4 =
1 + 1/2 + 1/4, por lo que 1 + 1/2 + 1/4 es a 700 como 1 es a x. De aquí se
obtiene que x = 400, por lo que cada hombre recibirá
2/3·400 = 266 + 2/3 panes;
1/2·400 = 200 panes;
1/3·400 = 133 + 1/3 panes;
1/4·400 = 100 panes.
El
papiro de Moscú
La mayor parte de la información
acerca de la matemática egipcia proviene del papiro de ahmes o de Rhind, el
documento más extenso.
EL PAPIRO RHIND.
En 1858 el egiptólogo escocés A. Henry
Rhind visitó Egipto por motivos de salud (padecía tuberculosis) y compró en
Luxor el papiro que actualmente se conoce como papiro Rhind o de Ahmes, y que
se encontró en las ruinas de un antiguo edificio de Tebas. Rhind murió 5 años
después de la compra y el papiro fue a parar al Museo Británico. Desgraciadamente
en esa época gran parte del papiro se había perdido, aunque 50 años después se
encontraron muchos fragmentos en los almacenes de la Sociedad histórica de
Nueva York.
Actualmente se encuentra en el Museo
Británico de Londres. Comienza con la frase "Cálculo exacto para entrar en
conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y
misterios".
El papiro mide unos 6 metros de largo y
33 cm de ancho. Representa la mejor fuente de información sobre matemática
egipcia que se conoce. Escrito en hierático, consta de 87 problemas y su resolución.
Nos da información sobre cuestiones aritméticas básicas, fracciones, cálculo de
áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres,
ecuaciones lineales y trigonometría básica. Fue escrito por el escriba Ahmes
aproximadamente en el 1650 a.C. a partir de escritos de 200 años de antigüedad,
según reivindica Ahmes al principio del texto, aunque nos resulta imposible saber
qué partes corresponden a estos textos anteriores y cuáles no.
EL
PAPIRO DE MOSCÚ.
El papiro de Moscú, es junto con el de
Rhind el más importante documento matemático del Antiguo Egipto. Fue comprado
por Golenishchev en el año 1883, a través de Abd-el-Radard, una de las personas
que descubrió el escondite de momias reales de Deir el-Bahari. Originalmente se
le conocía como Papiro Golenishchev pero posteriormente, cuando fue a parar al
Museo de Bellas Artes de Moscú, en 1917, con el número 4576, se conoce como
Papiro de Moscú. Con 5 metros de longitud, y tan sólo 8 cm de anchura consta de
25 problemas, aunque algunos se encuentran demasiado dañados para poder ser
interpretados. El papiro fue escrito en hierática en torno al 1890 a.C. (XII
dinastía) por un escriba desconocido, que no era tan meticuloso como Ahmes, el
escriba del papiro Rhind. Se desconoce el objetivo con el que fue escrito. En
la imagen que mostramos se puede ver el original en hierática y la traducción
en jeroglífico.
PROBLEMAS
MÁS INTERESANTES.
Problema 10: Área de una superficie
curva.
En este problema se pide calcular el
área de una superficie que en principio parece un cesto de diámetro 4.5. La
resolución parece emplear la fórmula S = (1 - 1/9)2 (2x)*x, siendo x = 4.5. El
resultado final que aparece es de 32 unidades. Si tenemos en cuenta que (1 -
1/9)2 es el valor correspondiente a /4 para =3 1/6 que como hemos visto, en el
capítulo referente a geometría, era el valor empleado, entonces la superficie a
analizar podría corresponderse perfectamente con una semiesfera de diámetro
4.5. Si esto fuese asi, tal y como se pensó originalmente en 1930, sería el primer
resultado de cálculo del área de un hemisferio, anterior en 1500 años a los
primeros cálculos conocidos sobre el área de una esfera. Posteriormente se
sugirió que la figura que aparece representada podría ser un tejado
semicilíndrico de diámetro 4.5 y longitud 4.5, cuya resolución es más lógica y
sencilla que la de la esfera. En cualquier caso, tanto si se trata de un
hemisferio como de un tejado semicilíndrico lo que si es cierto es que es uno
de los primeros intentos de cálculo del área de una superficie curvilínea.
Bibliografías
