Los comienzos de las matrices y
los determinantes datan del siglo II AC, aunque hay indicios desde IV siglos
AC. Sin embargo, no fue hasta fines del siglo XVII que las ideas reaparecieron
y se desarrollaron con fuerza. Los comienzos de las matrices y los determinantes
surgen a través del estudio de sistemas de ecuaciones lineales. En Babilonia se
estudiaron problemas que involucraban a ecuaciones lineales simultáneas y
algunos de estos son conservados en tabletas de arcilla que permanecieron en el
tiempo. Por ejemplo, una tableta que data alrededor de 300 años AC contiene el
siguiente problema:
"Hay dos terrenos cuya área
total es de 1800 metros cuadrados. Uno produce granos en una proporción de 2/3
de una medida por yarda cuadrada mientras el otro produce granos en una
proporción de 1/2 de una medida por metro cuadrado. Si la producción total es
1100 medidas, ¿Cuál es el tamaño de cada terreno?"
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Los Chinos, entre los años 200
AC y 100 AC, estuvieron mucho más cerca de las matrices que los babilonios.
Verdaderamente es justo decir que el texto “Nueve Capítulos de Arte
Matemático”, escrito durante la Dinastía Han, da el primer ejemplo conocido
sobre métodos matriciales. Por ejemplo, el problema siguiente es muy similar
al ejemplo anterior dado en Babilonia:
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"Hay tres tipos de cereal,
de los cuales tres fardos del primero, dos del segundo, y uno del tercero hacen
39 medidas. Dos del primero, tres del segundo y 1 del tercero hacen 34 medidas.
Y uno del primero, dos del segundo y tres del tercero hacen 26 medidas.
¿Cuántas medidas de cereal son contenidas en un fardo de cada tipo?"
Ahora, para resolver este
problema, el autor hace algo realmente extraordinario. Coloca los coeficientes
del sistema de tres ecuaciones lineales en una especie de "tablero
contador".
En nuestro siglo XX, escribimos
las ecuaciones lineales por medio de filas más que por columnas pero,
naturalmente, el método es idéntico. Más extraordinario, es que hace 200 años
AC, el autor escribió instrucciones al lector:
1. Multiplicar la columna dos por
tres y la columna tres por dos, restar la nueva columna tres a la columna dos,
generando una nueva columna dos. Luego, multiplicar la columna uno por
tres y restarle la columna tres generando una nueva columna uno. El tablero
contador queda así:
2. Multiplicar la columna uno por
cinco y la columna dos por cuatro, restar la nueva columna dos a la columna
uno, generando una nueva columna uno. El tablero contador queda así:
Con esto, tenemos la solución
para el tercer tipo de cereal, de este modo se puede encontrar la
solución para el segundo y por último para el primero por medio de la
sustitución hacia atrás. Este método, conocido ahora como Eliminación
Gaussiana, no se volvería a retomar sino hasta inicios del siglo XIX.
Cardan, en “Ars
Magna” (1545), da una regla para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales
que llama regla de modo. Resulta que esta regla corresponde en esencia a
nuestra conocida Regla de Cramer para la resolución de un sistema
de (2 x 2). Aunque Cardan no daba aún el paso final, no
alcanzó la definición de determinante pero, ahora podemos ver que
su método conducía a la definición.
Muchos resultados estándar
de teoría de matrices elementales aparecieron antes de que las matrices fueran
objeto de investigación matemática. Por ejemplo, de Witt en “Elementos de
curvas”, publicado como una parte de la comentada “Versión Latina de la
Geometría de Descartes” en 1660, muestra como una transformación de
ejes reducen una ecuación dada de una cónica a la forma canónica. Esto
resultaba de la diagonalización de una matriz simétrica pero, de
Witt nunca pensó en estos términos.
La idea de determinante apareció
en Japón y Europa casi al mismo tiempo, aunque Seki en Japón ciertamente lo
publicó primero. En 1683, Seki escribía “Métodos de Resolución de
problemas Disimulados” que contienen métodos matriciales escritos
exactamente como en las tablas del método chino descrito anteriormente. Sin
tener alguna palabra que correspondiera a 'determinante', Seki los
introdujo y dio métodos generales para calcularlos basados en ejemplos. Usando
sus 'determinantes' Seki fue capaz de encontrar determinantes en matrices de
orden (2 x 2), (3 x 3), (4 x 4) y (5 x 5) y los aplicó para resolver
ecuaciones pero, no sistemas de ecuaciones lineales. Más extraordinario aún, es
que la aparición del primer determinante en Europa coincidía con el mismo año
1683. En ese año Leibniz escribía a de
l'Hôpital.
Tenía una solución porque:
Esta es exactamente la condición
para que el coeficiente de la matriz tenga determinante cero. Note que Leibniz no
estaba usando coeficientes numéricos pero...
"dos caracteres, el primero
marcando en que ecuación ocurre, el segundo marcando a que columna
pertenece."
Así, 21 significa lo que
nosotros escribimos como a21.
Leibniz estaba convencido de que
una buena notación matemática era la llave hacia el progreso, así, experimentó
con diferentes notaciones para sistemas de coeficientes. Sus inéditos
manuscritos contienen mas de 50 formas diferentes para escribir sistemas de
coeficientes. Trabajó con esto durante un período de 50 años, comenzando en
1678. Solo dos publicaciones (1700 y 1710) contienen resultados sobre sistemas
de coeficientes y estos usaron la misma notación como en su nota a de
l'Hôpital. mencionada anteriormente.
Leibniz usó
la palabra 'resultante' para cierta suma combinatorial de términos de un
determinante. Probó resultados diversos en resultantes, incluyendo lo que en
esencia corresponde a la Regla de Cramer. El también sabía que un determinante
podía ser expandido usando alguna columna, método que es llamado ahora
"Expansión de Laplace". Así como estudió sistemas de coeficientes de
ecuaciones que lo guiaron a los determinantes, Leibniz también
estudió sistemas de coeficientes de formas cuadráticas que lo
llevaron, naturalmente, hacia la teoría de matrices.
Por los años 1730, Maclaurin
escribió “Tratados de álgebra” el cual no fue publicado sino hasta
1748, dos años después de su muerte. Este tratado contiene los primeros
resultados publicados sobre determinantes probando la regla de Cramer para
sistemas de (2 x 2) y (3 x 3) e indicando como trabajar para sistemas de (4 x
4). Cramer daba la regla general para sistemas de (n x
n) en “Introducción al análisis de curvas algebraicas”
(1750). Esto surgió motivado por el deseo de encontrar la ecuación de una
curva plana pasando a través de un número dado de puntos. La regla
aparece en un apéndice del documento, pero la prueba no aparece:
"Se encuentra el valor de
cada incógnita formando n fracciones de las cuales el común denominador tiene
tantos términos como hay permutaciones de n cosas."
Cramer explica
precisamente el cálculo de estos términos como el producto de ciertos
coeficientes en las ecuaciones y como se puede determinar el signo. El
también explica como los n numeradores de las fracciones pueden ser encontrados
reemplazando ciertos coeficientes en este cálculo por términos constantes del
sistema.
Los trabajos sobre
determinantes empezaban a aparecer con regularidad. En 1764 Bezout daba
métodos para calcular determinantes como lo hacia Vandermonde en 1771. En 1772,
Laplace afirma que los métodos introducidos por Cramer y
Bezout eran impracticables y, en un escrito donde él estudiaba las órbitas de
planetas, discutía la solución de sistemas de ecuaciones lineales sin
calcularlos pero, usando determinantes. Más sorprendente aún, Laplace usaba la
palabra 'resultante’ para denotar determinantes. Es más sorprendente que
Laplace usara la misma palabra que Leibniz,
más aún, teniendo presente que Laplace no conocía el trabajo de Leibniz.
Laplace daba la expansión de un determinante como se conoce
actualmente y por ello lleva su nombre.
Lagrange, en un
escrito de 1773, estudia la identidad para determinantes de (3x3). Sin embargo,
este comentario es hecho en restrospectiva a partir de que Lagrangemismo no vio
ninguna conexión entre su trabajo y el de Laplace y Vandermonde. Sin
embargo, este escrito de 1773 sobre mecánica, contiene por primera vez lo
que nosotros conocemos ahora como la interpretación del volumen de un
determinante. Lagrange mostró
que el tetraedro formado por O(0,0,0) y los tres puntos:
El término 'determinante' fue
introducido por primera vez por Gauss en
“Disquisiciones Aritméticas” (1801) mientras se discutían formas
cuadráticas. Gaussusó
este término porque el determinante determina las propiedades de la forma
cuadrática. Sin embargo, este concepto de determinante no era el mismo que
conocemos ahora. En el mismo trabajo, Gauss pone los
coeficientes de sus formas cuadráticas en arreglos rectangulares. Describe la
multiplicación de matrices (la cual piensa como una composición, lo que
implica que no había alcanzado aun el concepto de álgebra de matrices) y la
inversa de una matriz en el contexto particular de los arreglos de coeficientes
de formas cuadráticas.
La Eliminación Gaussiana, que
primero aparece en el texto” Nueve Capítulos de Arte Matemático”
escrito 200 años AC, era usada por Gauss en sus
estudios de la órbita del asteroide Pallas. Usando las observaciones de
Pallas tomadas entre 1803 y 1809, Gauss obtuvo un
sistema de seis ecuaciones lineales con seis incógnitas. Gauss ideó un
método sistemático para resolver tales ecuaciones, el que precisamente
conocemos ahora como “Eliminación Gaussiana” con los coeficientes
de una matriz.
Fue Cauchy en 1812
quien usó el término 'determinante' en el sentido moderno. El trabajo de Cauchy es
el más completo de los primeros trabajos sobre determinantes. Él
desaprobaba los primeros resultados y daba nuevos resultados propios sobre
menores. En este escrito, de 1812, por primera vez fue probada la
multiplicación de determinantes aunque, en la misma reunión del Instituto de Francia,
Binet lee un escrito que contenía la prueba del teorema de la multiplicación
pero que fue menos satisfactoria que la realizada por Cauchy.
En 1826 Cauchy, en el
contexto de formas cuadráticas en n variables, usó el término 'tableau' para
la matriz de coeficientes. Él encuentra el autovalores de matrices y dio
resultados sobre diagonalización de una matriz en el contexto de convertir
una forma cuadrática a la suma de cuadrados. Cauchy también
introdujo la idea de matrices similares (pero no el término) y mostró que si
dos matrices son similares ellas tienen la misma ecuación característica.
También probó, nuevamente en el contexto de formas cuadráticas, que toda
matriz simétrica real es diagonalizable.
Jacques Sturm dio una
generalización del problema de los autovalores en el contexto de
resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. De hecho, el concepto
de autovalores apareció 80 años antes en trabajos sobre sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales, hechos por D'Alembert acerca de la generalización
del movimiento de una cuerda con masas pegadas a él en diversos puntos.
Es una pena que ni Cauchy ni
Jacques Sturm realizaron la generalidad de las ideas que ellos estaba
introduciendo, las mostraron solo en los contextos específicos en que ellos
estaban trabajando. Jacobi, alrededor 1830 y luego Kronecker y Weierstrass en
los años 1850 y 1860 también miraron resultados matriciales pero otra vez en un
contexto especial, esta vez relativo a la idea de un transformación
lineal.
Jacobi publicó tres tratados
sobre determinantes en 1841. Esto fue de gran importancia, ya que por primera
vez la definición de determinante fue hecha en forma algorítmica y las
entradas en los determinantes no fueron especificados. Así, sus resultados
fueron aplicados igualmente bien a casos donde las entradas eran números o
eunciones. Estos tres escritos de Jacobi hicieron la idea de determinante
ampliamente conocido.
Cayley, también publicó en
1841, la primera contribución Inglesa a la teoría de determinantes. En este
escrito, uso dos líneas verticales en ambos lados del arreglo para denotar el
determinante, una notación que ahora es común.
Eisenstein en
1844 denotó las sustituciones lineales con una simple letra y mostró como
sumarlas y multiplicarlas como números ordinarios excepto porque no hay
commutatividad. Es justo decir que Eisenstein fue el primero en pensar las
sustituciones lineales como la formación de un álgebra como pueder ser visto en
la siguiente cita de su escrito de 1844:
"Un algoritmo para cálculo
puede ser basado en esto, consiste en aplicar las reglas normales para
las operaciones de multiplicación, división y exponenciación a ecuaciones
simbólicas. Entre sistemas lineales, ecuaciones simbólicas correctas son
obtenidas siempre, teniendo en consideración que el orden de los factores no
puede ser alterado."
El primero en usar el término
"matriz" fue Sylvester en 1850. Sylvester definió matriz como un
arreglo rectangular de términos y vio como algunas matrices contenían dentro de
ellas varios determinantes representados como arreglos cuadrados. Después de
dejar América, Sylvester volvió a Inglaterra en 1851, y se formó como abogado.
Más tarde junto a Cayley, un abogado como él, compartió sus intereses
matemáticos. Cayley rápidamente vio el significado del concepto de matriz
y en 1853 había publicado una nota dando, por primera vez, la inversa de una
matriz.
Cayley, en 1858, publicó
“Memorias sobre la teoría de matrices” que contiene la primera
definición abstracta de matriz. Él muestra que los arreglos de coeficiente
estudiados tempranamente para formas cuadráticas y para transformaciones
lineales son casos especiales de su concepto general. Cayley daba una
definición algebraica sobre adición de matrices, multiplicación, multiplicación
por un escalar y matriz inversa. Él daba una construcción explícita de la
inversa de una matriz en términos del determinante. Cayley también probó que,
en el caso de matrices de orden (2 x 2), la matriz satisface su ecuación
característica propia. Él declaraba que había comprobado el resultado para
matrices de orden (3 x 3), indicando su prueba, pero dice:
"Yo no tengo la condición
necesaria para llevar adelante el trabajo de probar formalmente el teorema para
el caso general de una matriz de cualquier grado."
Que una matriz satisfaga su
ecuación característica propia es lo que se conoce como el "Teorema de
Cayley-Hamilton". Es razonable preguntarse que tiene que ver esto con
Hamilton. En efecto, el también probó un caso especial del teorema, para
matrices de orden (4 x 4), en el curso de sus investigaciones sobre
cuaterniones.
En 1870, la forma canónica de
Jordan aparece en “ Tratado sobre sustituciones y ecuaciones algebraicas”
por Jordan. Aparece en el contexto de una forma canónica para
sustituciones lineales sobre un campo finito de orden primo.
Frobenius, en 1878, escribió un
importante trabajo sobre matrices en “Sustituciones lineales y formas
bilineales” cuando el no estaba consciente del trabajo de Cayley. Frobenius
trabajaba en su artículo con coeficientes de formas cuadráticas y no usa
el término matriz. Sin embargo probó importantes resultados sobre matrices
canónicas como representaciones de clases de equivalencia de matrices. Él
menciona a Kronecker (1874) y Weierstrass
(1868) como casos especiales de sus resultados respectivamente. Frobenius
además probó el resultado general de que una matriz satisfaga su ecuación
característica. Este escrito de 1878 también contiene la definición
del rango de una matriz el cual usaba en sus trabajos sobre formas
canónicas y la definición de Matrices Ortogonales.
La nulidad de una matriz
cuadrada fue definida por Sylvester en 1884. Él definía la nulidad de A,
n(A), como el mayor i tal que cada de A de orden (n-i+1) es nula.
Sylvester estaba interesado en invariantes de matrices, esto es, propiedades
que cumplen algunas matrices y que no son alteradas bajo ciertas
transformaciones. Sylvester provó que:
max(n(A),n(B)) <=
n(AB) <= n(A) + n(B).
En 1896, Frobenius conoció las
“Memorias sobre la teoria de matrices” de Cayley (1858) y despues
comenzó a usar el término matriz. A pesar del hecho que Cayley solo había
probado el teorema de Cayley-Hamilton para matrices de (2 x 2) y (3 x 3),
Frobenius generosamente atribuyó el resultado a Cayley a pesar de haber sido el,
el primero en probar el teorema general.
Una definición axiomática de
determinante fue usado por Weierstrass en
sus clases y, despues de fallecido, fue publicado, en 1903, en la nota
“Teoría de determinantes”. En el mismo año, también fueron publicados los
apuntes de Kronecker sobre determinantes, nuevamente despues de su muerte. Con
estas dos publicaciones, la teoría moderna de determinantes estaba desarrollada
pero, la teoría de matrices tomaba un poco más de tiempo para convertirse en
una teoría completamente aceptada.
Un importante texto que abre un
espacio para las matrices dentro de las matemáticas fue “Introduccion al
álgebra lineal” escrito por Bôcher en 1907. Turnbull y Aitken escribieron
textos influyentes en los años 1930 y Mirsky con “Una introducción
al álgebra lineal”, en 1955, mostró laTeoría de Matrices
estableciendola como uno de los más importantes tópicos matemáticos para
estudiantes de pregrado.
BIBLIOGRAFIA
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