Teoría de los números, es la rama
de matemáticas puras que estudia las propiedades de los números en general y de
los enteros en particular, así como diversos problemas derivados de su estudio.
Aritmética
La aritmética es la rama de las
matemáticas que estudia ciertas operaciones de los números y sus propiedades
elementales. Proviene del origen griego arithmos y techne que quieren decir
respectivamente números y habilidad.
Teoría
de números
Contiene una cantidad
considerable de problemas que podrían ser comprendidos por "no
matemáticos". De forma más general, este campo estudia los problemas que
surgen con el estudio de los enteros. Tal como cita Jürgen Neukirch: La teoría
de números ocupa entre las disciplinas matemáticas una posición idealizada
análoga a aquella que ocupan las matemáticas mismas entre las otras ciencias.
El término aritmética también era utilizado para referirse a la teoría de
números. Este es un término bastante antiguo, aunque ya no tan popular como en
el pasado. De allí la teoría de números suele ser denominada alta aritmética,
aunque el término también ha caído en desuso. Este sentido del término
aritmética no debe ser confundido con la aritmética elemental, o con la rama de
la lógica que estudia la aritmética de Peano como un sistema formal. Los
matemáticos que estudian la teoría de números son llamados teóricos de números.
Campos
Según los métodos empleados y las
preguntas que se intentan contestar, la teoría de números se subdivide en
diversas ramas.
Teoría
elemental de números
En la teoría elemental de
números, se estudian los números enteros sin emplear técnicas procedentes de
otros campos de las matemáticas. Pertenecen a la teoría elemental de números
las cuestiones de divisibilidad, el algoritmo de Euclides para calcular el
máximo común divisor, la factorización de los enteros como producto de números
primos, la búsqueda de los números perfectos y las congruencias. Son enunciados
típicos el pequeño teorema de Fermat y el teorema de Euler que lo extiende, el
teorema chino del resto y la ley de reciprocidad cuadrática. En esta rama se
investigan las propiedades de las funciones multiplicativas como la función de
Möbius y la función φ de Euler; así como las sucesiones de números enteros como
los factoriales y los números de Fibonacci.
Diversos cuestionamientos dentro
de la teoría elemental de números parecen simples, pero requieren
consideraciones muy profundas y nuevas aproximaciones, incluyendo las
siguientes:
Conjetura de Goldbach sobre que
todos los números pares son la suma de dos números primos.
Conjetura de los números primos
gemelos sobre la infinitud de los llamados números primos gemelos.
Último teorema de Fermat
(demostrado en 1995) Hipótesis de Riemann sobre la distribución de los ceros de
la función zeta de Riemann, íntimamente conectada con el problema de la
distribución de los números primos.
Bibliografía
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