HISTORIA DE LA TEORÍA DE NÚMEROS
• Los
matemáticos en la India se han interesado en encontrar soluciones enteras a las
ecuaciones diofánticas desde mediados del I milenio a. C.
• El primer uso
geométrico de las ecuaciones diofánticas se remonta a los Shulba-sutras, los
cuales fueron escritos entre los siglos V y III a. C.
• El religioso
Baudhaiana (en el siglo IV a. C.) encontró dos conjuntos de enteros positivos a
un conjunto de ecuaciones diofánticas simultáneas, y también se usan ecuaciones
diofánticas simultáneas con más de cuatro incógnitas.
• Apastamba (en
el siglo III a. C.) usaba ecuaciones diofánticas simultáneas con más de cinco
incógnitas.
Los matemáticos yainas fueron los
primeros en descartar la idea de que todos los infinitos son los mismos o
iguales. Reconocen cinco tipos de infinitos diferentes: infinito en una o dos
direcciones (unidimensionales), infinito en superficies (bidimensional),
infinito en todas partes (tridimensional) y perpetuamente infinito (en un
número infinito de dimensiones).
La teoría de números
fue una de las
disciplinas de estudio favoritas entre los matemáticos griegos de Alejandría
(en Egipto) a partir del siglo III a. C., quienes tenían conciencia del concepto
de ecuación diofántica en sus casos particulares. El primer matemático
helenístico que estudió estas ecuaciones fue Diofanto.
Las ecuaciones diofantinas: fueron
estudiadas de manera intensiva por los matemáticos indúes medievales, quienes
fueron los primeros en buscar sistemáticamente métodos para la determinación de
soluciones enteras.
Ariabhata
(476-550) dio la primera descripción explícita de la solución entera
general de la ecuación diofantina lineal ay + bx = c, la cual aparece en su
texto Ariabhatíia. El algoritmo kuttaka es considerado como una de las
contribuciones más significativas de Ariabhata en las matemáticas puras, el
cual encuentra las soluciones enteras de un sistema de ecuaciones diofantinas
lineales, un problema de importante aplicación en la astronomía. También
encuentra la solución general de la ecuación lineal indeterminada utilizando
este método.
Campos: Según los métodos empleados y
las preguntas que se intentan contestar, la teoría de números se subdivide en
diversas ramas.
-Teoría elemental de números.
-Teoría analítica de números.
-Teoría de números aditiva.
-Teoría
algebraica de números.
-Teoría
geométrica de números.
-Teoría
combinatoria de números.
-Teoría
computacional de números.
ÁLGEBRA
• Jean Le Rond
d'Alembert trató de demostrar que la forma general de las raíces de las
ecuaciones de un grado cualquiera era la misma que se deducía de las de segundo
grado en 1746 en Memorias de Berlín (posteriormente hicieron trabajos Fomenox,
Laplace y Cule y lo perfeccionó Laplace)
• El escocés
Colin Maclaurin: A treatise of algebra,.., Londres, 1748 (Serie de Maclaurin)
• Jacopo
Riccati: Opere del conte Jacopo Riccati.., Lucca: J. Giusti, 1761- 65, 4 vols.
(sobre su obra: Algebraic Riccati equations / P. Lancaster, Oxford, 1995.)
ÁLGEBRA
• Jean Le Rond
d'Alembert trató de demostrar que la forma general de las raíces de las
ecuaciones de un grado cualquiera era la misma que se deducía de las de segundo
grado en 1746 en Memorias de Berlín (posteriormente hicieron trabajos Fomenox,
Laplace y Cule y lo perfeccionó Laplace)
• El escocés
Colin Maclaurin: A treatise of algebra,.., Londres, 1748 (Serie de Maclaurin)
• Jacopo
Riccati: Opere del conte Jacopo Riccati.., Lucca: J. Giusti, 1761- 65, 4 vols.
(sobre su obra: Algebraic Riccati equations / P. Lancaster, Oxford, 1995.)
El Álgebra
En los papiros
que se conservan con problemas matemáticos existe un grupo que podríamos incluir
dentro del concepto de álgebra actual. El egipcio no distinguía entre problemas
meramente aritméticos y estos en los que se pide resolver ecuaciones lineales
de la forma x + ax = b o x + ax + bx = c. Para él todo eran matemáticas y se
limitaba a seguir procedimientos aritméticos. Por supuesto no se empleaba esta
notación que usamos nosotros sino que se pedía por ejemplo buscar un número,
que ellos llamaban "aha" o "montón" tal que ... El problema
más conocido del papiro Rhind sobre estas cuestiones es el número 24 en el que
se pide calcular el valor del aha si el aha y una séptima parte del aha es 19.
Este tipo de problemas aparecen resueltos con unas someras instrucciones que
llevan al resultado buscado, sin dar ninguna explicación sobre por qué usar el
procedimiento. La resolución de estos problemas se efectúa por el método que
hoy conocemos como "regla de la falsa posición" o "regula
falsi". Este método consiste en presuponer un valor para el aha y efectuar
las operaciones de la ecuación. A menos que tengas mucha suerte no acertarás
con el valor del aha a la primera, pero tampoco importa, porque una vez
efectuadas las operaciones se compara el resultado con el que debería obtenerse
y con el uso de proporciones se halla el valor correcto. Por ejemplo en el
problema 24 hay que resolver la ecuación x + x/7 = 19. Se supone un valor x = 7
(el más fácil de aplicar) --> x + x/7 = 8. Ahora basta con calcular un
número n tal que 19 = 8*n, y el valor buscado será x=7*n. Se divide 19/8. Los
problemas de ecuaciones lineales son frecuentes en la matemática egipcia y
aparecen en varios papiros, pero llaman la atención especialmente dos problemas
del papiro de Berlín que representan un sistema de 2 ecuaciones con dos
incógnitas, una de las cuales es además de segundo grado. Estos problemas son
los más sencillos, del tipo ax2 =b o incluso en el de dos incógnitas una de
ellas se da en función de la otra, con lo que el problema queda reducido
igualmente a uno del tipo ax2 =b. Curiosamente se utiliza la raíz cuadrada para
resolver el problema, aunque no tenemos constancia de si tenían procedimientos
para calcularlas. Algunos autores suponen que debieron existir tablas de
números cuadrados, calculadas por un simple procedimiento de multiplicación del
número por él mismo, y que podrían leerse en ambos sentidos de modo que
permitirían calcular raíces cuadradas. Lo que sí sabemos es que existía un
símbolo especial para representarla ( ) conocido como 'la esquina'. El problema
al que antes nos hemos referido consiste en resolver: x2 + y2 = 100 y = (1/2 +
1/4)x El método para resolver repartos proporcionales está basado en las
propiedades de las proporciones numéricas. Estos cálculos eran muy importantes
a la hora de distribuir las raciones, por ejemplo, en los templos, donde no todo
el mundo recibía la misma cantidad de comida y bebida. La regla de 3 aparece en
el problema 72 del papiro Ahmes. Los egipcios no encontraban diferencia entre
la aplicación de este método para la resolución de problemas y la aritmética.
Empleaban el procedimiento cuando los problemas se presentaban de forma similar
a prácticas que habían realizado, pero posiblemente el concepto de regla de 3
se les escapase totalmente. Las progresiones aritméticas aparecen reflejadas en
el problema 64 del papiro. No sabemos si la resolución responde a la aplicación
de una fórmula o simplemente a planteamientos lógicos, pero como puede verse en
el capítulo dedicado al papiro Rhind el escriba sigue perfectamente el método
que emplearíamos actualmente para resolver el problema.
Bibliografía
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