Augustin-Louis
Cauchy Muchos
historiadores de la matemática afirman que el rigor en matemáticas nació con
Augustin-Louis Cauchy. Todo un revolucionario, Cauchy trató de establecer una
base rigurosa para el análisis matemático. Un buen ejemplo fue su demostración
del teorema del valor intermedio, que afirma que toda función real f(x)
continua en un intervalo [a,b] asume cada valor posible entre f(a) y f(b) en
ese intervalo. Parece obvio gracias a la idea intuitiva de continuidad y de
hecho hasta Cauchy nadie pensó que fuera necesario demostrarlo, pero hoy en día
todos los estudiantes de matemáticas se pelean con su demostración rigurosa
(aunque sin saberlo, como homenaje en memoria de Cauchy). Por cierto, Cauchy
enseñó la demostración de este teorema por primera vez en el curso que impartió
en la École Royale Polytechnique en 1816. Su libro de texto de 1821, admirado
por más de una generación de matemáticos, presenta dos demostraciones
diferentes; la más famosa, la que todos los estudiantes de matemáticas
aprenden, fue relegada a un apéndice. Nos lo recuerda Michael J. Barany, “Stuck
in the Middle: Cauchy’s Intermediate Value Theorem and the History of Analytic
Rigor,” Notices of the AMS
La Revolución Francesa, bajo las consignas de libertad,
igualdad y fraternidad, fue acompañada de una revolución matemática. Por
primera vez, la élite de los ingenieros militares y civiles comenzó a recibir
una formación matemática en París que comprendía las matemáticas más avanzadas
del momento. Estos ingenieros aplicaron las matemáticas que estudiaron a los
problemas más acuciantes del mundo moderno: infraestructuras, la navegación, la
minería, la energía e incluso a la guerra. El buque insignia de esta revolución
fue la École Polytechnique (que fue rebautizada como École Royale Polytechnique
tras la derrota de Napoleón y el regreso de la monarquía). En esta institución
Cauchy dejó su huella como estudiante y como profesor. Cauchy fue un profesor
impopular tanto entre los estudiantes como entre sus compañeros de facultad.
Sus clases eran muy densas y difíciles de seguir, muchas veces prolongaba la
clase más allá de su horario oficial y además realizaba continuas revisiones
del temario. Para Cauchy las matemáticas del siglo XVIII eran una disciplina
que había perdido el norte. Todo un siglo de innovaciones matemáticas
maravillosas que habían sido logradas a costa del rigor. Matemáticos como Euler
manejaban series que no eran convergentes y expresiones formales sin sentido
que producían conclusiones absurdas. No estaban claros conceptos tan básicos
como el de infinito, el de límite, los números imaginarios y muchos más. Cauchy
admiraba la formulación axiomática de la geometría realizada por Euclides. El
álgebra presentaba un estado similar, pero era considerada por los matemáticos
del siglo XVIII como una herramienta, versátil, pero de poca utilidad a la hora
de resolver problemas prácticos. Por el contrario, el análisis era muy útil en
todo tipo de problemas prácticos, pero carecía de un formulación rigurosa.
Cauchy quería que el status de la geometría y del álgebra fuera extendido al
análisis. Por ello decidió revisar todo el análisis desde el punto de vista de
la geometría y apoyado por el álgebra como herramienta.
Por supuesto, el “Curso de Análisis” de Cauchy, como
suele ocurrir con todo trabajo pionero, carece de rigor en muchos aspectos. Por
ejemplo, Cauchy asume que todas las funciones continuas son diferenciables. Sin
embargo, lo importante del proyecto de reforma del análisis iniciado por
Cauchy, que trata de llevar el rigor al análisis de la mano de la geometría y
del álgebra, es que inició un camino hacia el rigor cuya culminación fue el
motor de gran parte de la matemática de todo el siglo XIX, con la honrosa
excepción del genial Henri Poincaré que vio en el rigor un corsé del que había
que deshacerse. El cénit del rigor en las matemáticas llegó en el siglo XX con
Nicolas Bourbaki, el nombre colectivo de un grupo de matemáticos franceses que,
en los años 1930, se pusieron a revisar todos los fundamentos de las
matemáticas con una exigencia absoluta en el rigor tratando de combatir la
corriente que había nacido con Poincaré. Matemáticos como Jean Dieudonné, André
Weil, Henri Cartan, Claude Chevalley, y otros antiguos alumnos de la Escuela
Normal Superior de París recogieron el guante de Cauchy e impusieron a toda la
matemática el concepto de rigor matemático como definición de la labor del
matemático. Un matemático es una máquina de demostrar teoremas con absoluto
rigor. La máxima revolucionaria de Bourbaki es Vive la rigueur!
BIBLIOGRAFÍA
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