ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
HISTORIA
El estudio de las Ecuaciones
Diferenciales es tan viejo como el del Cálculo mismo. En 1671 Newton
(1643-1729) trabajó sobre la teoría de “Fluxiones” (Una fluxión viene a ser la
derivada de una “fluyente”, el cual es el nombre que Newton daba a un variable
dependiente). Su investigación se relacionó con “Ecuaciones Fluxionales” que
ahora llamaríamos ecuaciones diferenciales. Él dividió a las ecuaciones
diferenciales en tres categorías. En la primera, estas tendrían a forma dy/dx =
f(x) o dy/dx = f(y). En la segunda, tendrían la forma dy/dx = f(x, y). Y en la
tercera categoría están las ecuaciones diferenciales parciales. El método de
solución desarrollado por él fue el de series de potencias el cual consideró un
método “universalmente válido”.
3El matemático y filósofo
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) también trabajó en ecuaciones
diferenciales; encontró el método para las ecuaciones diferenciales lineales de
primer orden. En 1690, Jakob Bernoulli (1654-1705) mostró que el problema de
determinar la isócrona (curva vertical plana en la cual una partícula que se
deslice sobre ella hasta el fondo tardará un tiempo fijo que no depende del
punto inicial) es equivalente a resolver una ecuación diferencial de primer
orden no lineal; él la resolvió por el método de variables separables (el
método general sería enunciado por Leibniz). El artículo de Bernoulli se
convirtió en una “milestone” en la historia del Cálculo.
La segunda etapa (1728- ) de la
historia de las EDs estuvo dominada por Leonard Euler: Él introdujo varios
métodos para ecuaciones de orden inferior, el concepto de factor integrante, la
teoría de las ecuaciones lineales de orden arbitrario, el desarrollo del uso
del método de series de potencias entre otras cosas. La etapa siguiente (1820-
) fue una etapa de formalización y en ella hay dos personajes importantes Niels
Henrik Abel (1802-1829) y Augustin-Louis Cauchy (1789-1857); los problemas de
existencia y unicidad de la solución cobraron importancia.
DEFINICION
Toda ecuación diferencial que
contiene derivadas parciales se denomina ecuación diferencial en derivadas
parciales. En toda ecuación diferencial en derivadas parciales, la variable
dependiente (función desconocida) deberá ser una función de por lo menos dos
variables independientes ya que de no ser así no aparecerían derivadas
parciales.
ORDEN DE LA EDP
El orden de una ecuación
diferencial parcial es el de la derivada de mayor orden que aparezca en dicha
ecuación
APLICACIONES
Las ecuaciones diferenciales son muy
utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelamiento de
fenómenos físicos. Ecuación de la conducción del calor. La constante C ,
llamada difusivilidad, es igual a 1 donde la conductividad térmica K, el calor
específico, la densidad (masa por unidad de volumen) se toman como constantes.
Esta ecuación es aplicable a las
pequeñas vibraciones transversales de una cuerda flexible y tensa como la
cuerda de un violín, que inicialmente se ha colocado sobre el eje y se ha hecho
vibrar. La función es la elongación de un punto cualquiera de la cuerda en el instante.
La constante, donde c la tensión (Cte.) de la cuerda.
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Definición:
Se dice que una forma diferencial P(x, y) dx +Q(x, y) dy es exacta en un
dominio D, si existe una función U(x, y) cuya diferencial es dicha forma en D ,
es decir: Si P(x, y) dx + Q(x,y) dy es exacta, entonces la ecuación diferencial
P dx + Q dy = 0 se denomina ecuación diferencial exacta, o ecuación en
diferenciales totales.
CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN
Elípticas: Las que no tienen
derivada con respecto al tiempo son elípticas.
Ejemplo. Laplace Elíptica: Esta
es una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes
constantes.
Parabólicas: las que tiene primera derivada con respecto al tiempo
son parabólicas. Ejemplo: Difusión Parabólicas. Es la ecuación unidimensional
de difusión del calor, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes
constantes.
Hiperbólicas: Las ecuaciones con segunda derivada con respecto al
tiempo son usualmente hiperbólicas
Ejemplo: Onda Hiperbólica.
Es la ecuación de onda
unidimensional, que describe fenómenos de tipo oscilatorios y es de segundo
orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.
SOLUCION DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES LINEALES
La solución de ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales lineales, resulta más complejo que la solución
de ecuaciones diferenciales ordinarias debido a que no existen métodos
generales de resolución efectivos sino para un diverso grupo de ecuaciones.
TIPOS DE SOLUCIONES DE LAS EDP
Solución general: Toda ecuación en derivadas parciales de primer
orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina
usualmente solución general de la EDP. En muchas aplicaciones físicas esta
solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas.
Solución completa: Una solución completa es una solución particular
de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como
variables independientes intervienen en la ecuación. Por ejemplo la integración
de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico mediante el método
basado en la ecuación de Hamilton-Jacobi requiere una integral completa,
mientras que la solución general resulta menos interesante desde el punto de
vista físico.
Métodos de Laplace: La transformada de Laplace se puede utilizar
para la solución de ecuaciones diferenciales parciales de forma similar que la
solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Regularmente este método se
emplea para solucionar ecuaciones con condiciones iníciales, es decir cuando
las ecuaciones tienen derivadas con respecto al tiempo. El método consiste en
aplicar la transformada de Laplace a la ecuación diferencial parcial y a las
condiciones de borde, resolver la ecuación resultante y obtener la transformada
inversa.
Bibliografía
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