La geometría surgió del estudio
de los primeros matemáticos de la historia sobre problemas como las medidas de
un campo o de un objeto. En el antiguo Egipto surgió una geometría
observacional o empírica que provenía de la observación de los objetos. Esta
geometría primigenia más adelante fue reformulada y elaborada por los griegos y
es la geometría que hoy conocemos.
En siglo IV a.C. Pitágoras
demostró que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría
primitiva, se pueden deducir estableciendo un número de axiomas o postulados.
Pitágoras elaboró la teoría del famoso teorema de Pitágoras que afirma que el
cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo)
es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del
triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Los griegos llamaron al estudio
que involucra a estos postulados, geometría demostrativa que estudiaba y
analizaba polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras
tridimensionales. Esta geometría fue rigurosamente detallada por el matemático
griego Euclides, en su libro “Los elementos”. El texto de Euclides ha servido
como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días.
A principios del siglo XVII en
Europa, René Descartes y Pierre Fermat, descubrieron la geometría analítica que
relaciona la matemática y el álgebra por medio de correspondencias entre puntos
dentro de un plano y números.
Además, Descartes y Fermat
observaron, que las ecuaciones algebraicas corresponden con figuras
geométricas. Eso significa que las líneas y ciertas figuras geométricas se
pueden expresar como ecuaciones y, a su vez, las ecuaciones pueden graficarse
como líneas o figuras geométricas.
Los griegos en su afán
racionalista llevaron la geometría a la construcción, planteando que cierta
línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y
un compás.
Se pueden mencionar tres
problemas lógicos de construcción que datan de la época griega y que se
resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron
resolverlos: la duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al de
un determinado cubo), la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área
igual a un círculo determinado) y la trisección del ángulo (dividir un ángulo
dado en tres partes iguales). Ninguna de estas construcciones es posible con la
regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no fue
finalmente demostrada hasta 1882.
Los griegos, y en particular
Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas y
descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son
importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas
de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cónicas.
El científico Arquímedes, también
hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de
medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de
sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros.
También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi, la
proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que
este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.
La geometría sufrió un cambio
radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss,
Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron
sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a
partir de los trabajos sobre el llamado “postulado paralelo” de Euclides, al
proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio,
aunque, eso sí, coherentes.
Casi al mismo tiempo, el
matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con
más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional.
Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular
a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada
punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un
espacio tridimensional.
ANTES
DE EUCLIDES
En efecto, Tales permaneció en
Egipto una larga temporada de su vida, aprendiendo de los sacerdotes y escribas
egipcios todo lo referente a sus conocimientos en general, y estos quedaron
asombrados cuando fue capaz de medir la altura de la Pirámide de Keops y de
predecir un eclipse solar.
La Geometría Griega fue la
primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos y prácticos de las
civilizaciones egipcia y mesopotámicas, y da un paso de abstracción al
considerar los objetos como entes ideales -un cuadrado cualquiera, en lugar de
una pared cuadrada concreta, un círculo en lugar del ojo de un pozo...- que
pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda de la regla y el compás.
Aparece por primera vez la demostración como justificación de la veracidad de
un conocimiento, aunque en un primer momento fueran más justificaciones
intuitivas que verdaderas demostraciones formales.
La figura de Pitágoras y de la
secta por él creada (los pitagóricos) tiene un papel central, pues eleva a la
categoría de elemento primigenio el concepto de número (filosofía que de forma
más explícita o más implícita, siempre ha estado dentro de la Matemática y de
la Física), arrastrando a la Geometría al centro de su doctrina -en este
momento inicial de la historia de la Matemática aun no hay una distinción clara
entre Geometría y Aritmética-, y asienta definitivamente el concepto de
demostración (éste ya sí coincide con el concepto de demostración formal) como
única vía de establecimiento de la verdad en Geometría.
Esta actitud permitió (aun fuera
de la secta) la medición de la tierra por Eratóstenes, así como la medición de
la distancia a la luna, y la invención de la palanca por Arquímedes, varios
siglos después.
En el seno de la secta de los
pitagóricos surge la primera crisis de la Matemática: la aparición de los
inconmensurables, pero esta crisis es de caracter más aritmético que
geométrico.
Surge entonces un pequeño
problema a nivel lógico, que consiste en lo siguiente: una demostración parte
de una o varias hipótesis para obtener un resultado denominado tesis. La
veracidad de la tesis dependerá de la validez del razonamiento con el que se ha
extraido (esto será estudiado por Aristóteles al crear la Lógica) y de la
veracidad de las hipótesis. Pero entonces debemos de partir de hipótesis
ciertas para poder afirmar con rotundidad la tesis. Para poder determinar la
veracidad de las hipótesis, habrá que considerar cada una como tesis de otro
razonamiento, cuyas hipotesis deberemos también comprobar. Se entra aparentemente
en un proceso sin fin en el que, indefinidamente, las hipótesis se convierten
en tesis a probar.
Bibliografía
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