El cálculo de varias variables es
una extensión del cálculo bidimensional o de una variable a más de una
dimensión. Comúnmente utilizado en el espacio tridimensional. Por eso, así como
la derivación tiene su abstracción multidimensional, la integración también la
tiene.
La integración múltiple es el
proceso de encontrar las primitivas de una función de varias variables respecto
a todas las variables independientes que dicha función posea. Generalmente la
aplicación más directa es la integral definida, utilizada para encontrar áreas
de regiones y volúmenes de superficies en el espacio.
Integral doble
La doble integral es utilizada en
funciones de dos variables independientes, de la forma z = f (x, y). La
integral de esta función tiene la forma siguiente:
A la integral anterior se le
llama integral iterada, pues el proceso se realiza por pasos. El orden de
integración puede cambiar primero respecto a y y luego respecto a x o
viceversa. El proceso consiste en integrar primero la función respecto a la
primera variable y volver la otra constante para luego integrar ese resultado
respecto a la variable restante.
La doble integral definida se usa
para encontrar áreas o volúmenes. Para encontrar áreas no es necesario contar
con una función. Por ejemplo, el área de una circunferencia con centro en el
origen de radio 1
Integral triple
La integral triple se usa en
funciones de la forma w = f ( x, y, z). Puede utilizarse para encontrar
volúmenes de superficies o entre superficies e hipervolúmenes, que si bien
poseen una magnitud, no tienen una representación física. Encontrar los límites
de integración es nuevamente la tarea más compleja. En general, debería ser de
la forma siguiente:
Este es el orden convencional.
Sin embargo si el orden de los diferenciales cambia, también lo hacen los
límites de integración. Pero la función siempre se queda intacta.
Bibliografía
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