Álgebra y teoría de números

HISTORIA DE LA TEORÍA DE NÚMEROS

• Los matemáticos en la India se han interesado en encontrar soluciones enteras a las ecuaciones diofánticas desde mediados del I milenio a. C.

• El primer uso geométrico de las ecuaciones diofánticas se remonta a los Shulba-sutras, los cuales fueron escritos entre los siglos V y III a. C.

• El religioso Baudhaiana (en el siglo IV a. C.) encontró dos conjuntos de enteros positivos a un conjunto de ecuaciones diofánticas simultáneas, y también se usan ecuaciones diofánticas simultáneas con más de cuatro incógnitas.

• Apastamba (en el siglo III a. C.) usaba ecuaciones diofánticas simultáneas con más de cinco incógnitas.

Los matemáticos yainas fueron los primeros en descartar la idea de que todos los infinitos son los mismos o iguales. Reconocen cinco tipos de infinitos diferentes: infinito en una o dos direcciones (unidimensionales), infinito en superficies (bidimensional), infinito en todas partes (tridimensional) y perpetuamente infinito (en un número infinito de dimensiones).

La teoría de números

fue una de las disciplinas de estudio favoritas entre los matemáticos griegos de Alejandría (en Egipto) a partir del siglo III a. C., quienes tenían conciencia del concepto de ecuación diofántica en sus casos particulares. El primer matemático helenístico que estudió estas ecuaciones fue Diofanto.

Las ecuaciones diofantinas: fueron estudiadas de manera intensiva por los matemáticos indúes medievales, quienes fueron los primeros en buscar sistemáticamente métodos para la determinación de soluciones enteras.

 Ariabhata (476-550) dio la primera descripción explícita de la solución entera general de la ecuación diofantina lineal ay + bx = c, la cual aparece en su texto Ariabhatíia. El algoritmo kuttaka es considerado como una de las contribuciones más significativas de Ariabhata en las matemáticas puras, el cual encuentra las soluciones enteras de un sistema de ecuaciones diofantinas lineales, un problema de importante aplicación en la astronomía. También encuentra la solución general de la ecuación lineal indeterminada utilizando este método.

Campos: Según los métodos empleados y las preguntas que se intentan contestar, la teoría de números se subdivide en diversas ramas.

 -Teoría elemental de números.

 -Teoría analítica de números.

 -Teoría de números aditiva.

-Teoría algebraica de números.

-Teoría geométrica de números.

-Teoría combinatoria de números.

-Teoría computacional de números.

ÁLGEBRA

• Jean Le Rond d'Alembert trató de demostrar que la forma general de las raíces de las ecuaciones de un grado cualquiera era la misma que se deducía de las de segundo grado en 1746 en Memorias de Berlín (posteriormente hicieron trabajos Fomenox, Laplace y Cule y lo perfeccionó Laplace)

• El escocés Colin Maclaurin: A treatise of algebra,.., Londres, 1748 (Serie de Maclaurin)

• Jacopo Riccati: Opere del conte Jacopo Riccati.., Lucca: J. Giusti, 1761- 65, 4 vols. (sobre su obra: Algebraic Riccati equations / P. Lancaster, Oxford, 1995.)

ÁLGEBRA

• Jean Le Rond d'Alembert trató de demostrar que la forma general de las raíces de las ecuaciones de un grado cualquiera era la misma que se deducía de las de segundo grado en 1746 en Memorias de Berlín (posteriormente hicieron trabajos Fomenox, Laplace y Cule y lo perfeccionó Laplace)

• El escocés Colin Maclaurin: A treatise of algebra,.., Londres, 1748 (Serie de Maclaurin)

• Jacopo Riccati: Opere del conte Jacopo Riccati.., Lucca: J. Giusti, 1761- 65, 4 vols. (sobre su obra: Algebraic Riccati equations / P. Lancaster, Oxford, 1995.)

El Álgebra

En los papiros que se conservan con problemas matemáticos existe un grupo que podríamos incluir dentro del concepto de álgebra actual. El egipcio no distinguía entre problemas meramente aritméticos y estos en los que se pide resolver ecuaciones lineales de la forma x + ax = b o x + ax + bx = c. Para él todo eran matemáticas y se limitaba a seguir procedimientos aritméticos. Por supuesto no se empleaba esta notación que usamos nosotros sino que se pedía por ejemplo buscar un número, que ellos llamaban "aha" o "montón" tal que ... El problema más conocido del papiro Rhind sobre estas cuestiones es el número 24 en el que se pide calcular el valor del aha si el aha y una séptima parte del aha es 19. Este tipo de problemas aparecen resueltos con unas someras instrucciones que llevan al resultado buscado, sin dar ninguna explicación sobre por qué usar el procedimiento. La resolución de estos problemas se efectúa por el método que hoy conocemos como "regla de la falsa posición" o "regula falsi". Este método consiste en presuponer un valor para el aha y efectuar las operaciones de la ecuación. A menos que tengas mucha suerte no acertarás con el valor del aha a la primera, pero tampoco importa, porque una vez efectuadas las operaciones se compara el resultado con el que debería obtenerse y con el uso de proporciones se halla el valor correcto. Por ejemplo en el problema 24 hay que resolver la ecuación x + x/7 = 19. Se supone un valor x = 7 (el más fácil de aplicar) --> x + x/7 = 8. Ahora basta con calcular un número n tal que 19 = 8*n, y el valor buscado será x=7*n. Se divide 19/8. Los problemas de ecuaciones lineales son frecuentes en la matemática egipcia y aparecen en varios papiros, pero llaman la atención especialmente dos problemas del papiro de Berlín que representan un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas, una de las cuales es además de segundo grado. Estos problemas son los más sencillos, del tipo ax2 =b o incluso en el de dos incógnitas una de ellas se da en función de la otra, con lo que el problema queda reducido igualmente a uno del tipo ax2 =b. Curiosamente se utiliza la raíz cuadrada para resolver el problema, aunque no tenemos constancia de si tenían procedimientos para calcularlas. Algunos autores suponen que debieron existir tablas de números cuadrados, calculadas por un simple procedimiento de multiplicación del número por él mismo, y que podrían leerse en ambos sentidos de modo que permitirían calcular raíces cuadradas. Lo que sí sabemos es que existía un símbolo especial para representarla ( ) conocido como 'la esquina'. El problema al que antes nos hemos referido consiste en resolver: x2 + y2 = 100 y = (1/2 + 1/4)x El método para resolver repartos proporcionales está basado en las propiedades de las proporciones numéricas. Estos cálculos eran muy importantes a la hora de distribuir las raciones, por ejemplo, en los templos, donde no todo el mundo recibía la misma cantidad de comida y bebida. La regla de 3 aparece en el problema 72 del papiro Ahmes. Los egipcios no encontraban diferencia entre la aplicación de este método para la resolución de problemas y la aritmética. Empleaban el procedimiento cuando los problemas se presentaban de forma similar a prácticas que habían realizado, pero posiblemente el concepto de regla de 3 se les escapase totalmente. Las progresiones aritméticas aparecen reflejadas en el problema 64 del papiro. No sabemos si la resolución responde a la aplicación de una fórmula o simplemente a planteamientos lógicos, pero como puede verse en el capítulo dedicado al papiro Rhind el escriba sigue perfectamente el método que emplearíamos actualmente para resolver el problema.

Bibliografía

https://es.slideshare.net/Brmlazo/lgebra-y-teora-de-nmeros

https://www.ugr.es/~fjlopez/_private/Babil_Egip.pdf

FUNDAMENTOS DEL CÁLCULO

El límite de una función real de variable real y = f(x) en un punto x0 de su dominio es el concepto fundamental del cálculo. Es ´esta una noción asociada al comportamiento de los valores de la función en los puntos vecinos del punto x0, que permite definir la idea de continuidad y los conceptos fundamentales de derivada e integral de una función.

La definición de límite es reconocida como una de las máximas expresiones del discurso matemático moderno y su manejo es imprescindible para una clara comprensión del cálculo y sus aplicaciones. En este capítulo se presenta y se estudia la noción de límite a partir del concepto de convergencia de sucesiones, definiéndose luego las funciones continuas como aquellas que preservan precisamente la convergencia de sucesiones. La diferencia entre los conceptos y métodos del cálculo y los que usualmente se manejan en el ´algebra y la geometría, radica en que los primeros se definen en términos de propiedades o procesos con conjuntos infinitos.

Este capítulo incluye las demostraciones de los resultados básicos del análisis matemático y se presentan así para ir introduciendo al estudiante en el manejo de las técnicas de argumentación y prueba propias de esta ´área de las matemáticas.

Sucesiones reales

Una sucesión real es un conjunto de números reales ordenado mediante el conjunto de los números naturales.

En otras palabras, una sucesión es un conjunto de números reales etiquetados con números naturales, de tal manera que la etiqueta especifica el lugar o el orden que ocupa cada elemento en la sucesión. La etiqueta, al ser un número natural, nos señala cual es el primer elemento de la sucesión, cual el segundo, cual el tercero, etc. Para definir una sucesión real, se necesita especificar los números que la integran y el lugar que ocupan según el orden de sus etiquetas.

Convergencia de sucesiones

Se denota con (L − r, L + r) y se llama intervalo abierto con centro en el número real L y radio r > 0, al conjunto

                                              (L − r, L + r) = {x ∈ R tales que |x − L| < r}.

Se dice que una sucesión {si} ∞i=1 de números reales es convergente a un número real L si los elementos de la sucesión se aproximan al número L “tanto como se quiera” a medida que crece la magnitud de las etiquetas de esos elementos. En términos precisos, lo anterior se enuncia de la siguiente manera:

Definición

 La sucesión de números reales {si}∞ i=1 converge al número

L si para cada intervalo I con centro L existe una etiqueta NI tal que todos los elementos de la sucesión cuya etiqueta es posterior a NI pertenecen a dicho intervalo. Cuando el enunciado anterior es verdadero, escribimos simbólicamente {si} ∞ i=1 → L o lim i→∞ si = L.

Al número L se le llama limité de la sucesión {si} ∞ i=1.

Dado que un intervalo con centro L queda determinado por su radio r, la definición 4.2 se puede parafrasear como sigue:

“{si} ∞ i=1 converge a L si para cada r > 0, existe un número natural Nr tal que

Si i > Nr entonces |si − L| < r.”

Nota Importante:

Para fijar mejor la definición anterior, considere las observaciones siguientes.

1. La definición de sucesión convergente no dice cómo encontrar el límite de una sucesión, sino sólo qué propiedad define al limité de una sucesión. En ese sentido, la definición sólo dice qué debemos hacer para comprobar que un cierto número es efectivamente el limité de la sucesión.

2. La aproximación y acumulación de los elementos de la sucesión al límite L se expresa mediante la pertenencia a intervalos abiertos centrados en L y cada intervalo queda definido cuando se da el valor de su radio.

3. Para comprobar que un número L es el limité de una sucesión, la definición nos exige que para cada intervalo I centrado en L encontremos una etiqueta NI a partir de la cual todos los elementos de la sucesión con etiqueta mayor pertenezcan a ese intervalo. Esa etiqueta, cuya existencia hay que mostrar, no es la ´única con esa propiedad ya que cualquier otra mayor que ella también tendrá esa propiedad.

4. El valor de la etiqueta a partir de la cual los elementos de la sucesión pertenecen a un intervalo dado, depende del tamaño o radio de ese intervalo y mientras más pequeño sea ese radio, en general más grande tendrá que ser la etiqueta.

5. La convergencia de una sucesión a un número L no se altera si se modifica el valor o el orden de cualquier número finito de elementos de la sucesión. Esto es así porque la convergencia de una sucesión es una propiedad que sólo tiene que ver con el comportamiento de sus elementos a la larga, es decir cuando su orden crece indefinidamente y no depende de lo que suceda con sus primeros elementos.

Propiedades de las sucesiones convergentes

Enseguida enunciaremos y demostraremos algunas de las propiedades más importantes de las sucesiones convergentes. Una sucesión de números reales {ai} ∞ i=1 se dice acotada si todos sus elementos se encuentran dentro de un intervalo cerrado de la forma [−M, M] con M algún número mayor que cero, es decir, si −M 6 ai 6 M para toda i = 1, 2, . . .

Sucesiones monótonas

 Una sucesión de números reales {si} ∞ i=1 se dice creciente si para cada par de etiquetas k, j = 1, 2 · · · con k > j se tiene que sk > sj . Análogamente, la sucesión se dice decreciente si k > j implica sk < sj. A las sucesiones crecientes o decrecientes se les llama genéricamente sucesiones monótonas.

Criterio de convergencia de Cauchy

El criterio de convergencia de Cauchy2 proporciona una manera de constatar la convergencia de una sucesión sin que necesariamente se conozca su limité. Este es un resultado de gran utilidad en el análisis matemático y aquí lo presentamos en los términos siguientes.

Límite de una función en un punto

Definición: Sea f(x) una función real definida en un intervalo abierto (a, b) y x0 un punto del intervalo cerrado [a, b]. Diremos que el limité 3de la función f(x) cuando la variable x tiende a x0 tiene el valor L si para cada sucesión {xi} ∞ i=1 de elementos de (a, b), distintos de x0, y que converge a x0, se tiene que la sucesión {f(xi)} ∞ i=1 converge a L. Simbólicamente, denotaremos lo anterior escribiendo limx→x0 f(x) = L.

Bibliografía

http://www.mat.uson.mx/sitio/documentos/fundamentos-de-calculo.pdf

Ecuaciones en derivadas parciales

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

 HISTORIA

El estudio de las Ecuaciones Diferenciales es tan viejo como el del Cálculo mismo. En 1671 Newton (1643-1729) trabajó sobre la teoría de “Fluxiones” (Una fluxión viene a ser la derivada de una “fluyente”, el cual es el nombre que Newton daba a un variable dependiente). Su investigación se relacionó con “Ecuaciones Fluxionales” que ahora llamaríamos ecuaciones diferenciales. Él dividió a las ecuaciones diferenciales en tres categorías. En la primera, estas tendrían a forma dy/dx = f(x) o dy/dx = f(y). En la segunda, tendrían la forma dy/dx = f(x, y). Y en la tercera categoría están las ecuaciones diferenciales parciales. El método de solución desarrollado por él fue el de series de potencias el cual consideró un método “universalmente válido”.

3El matemático y filósofo Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) también trabajó en ecuaciones diferenciales; encontró el método para las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. En 1690, Jakob Bernoulli (1654-1705) mostró que el problema de determinar la isócrona (curva vertical plana en la cual una partícula que se deslice sobre ella hasta el fondo tardará un tiempo fijo que no depende del punto inicial) es equivalente a resolver una ecuación diferencial de primer orden no lineal; él la resolvió por el método de variables separables (el método general sería enunciado por Leibniz). El artículo de Bernoulli se convirtió en una “milestone” en la historia del Cálculo.

La segunda etapa (1728- ) de la historia de las EDs estuvo dominada por Leonard Euler: Él introdujo varios métodos para ecuaciones de orden inferior, el concepto de factor integrante, la teoría de las ecuaciones lineales de orden arbitrario, el desarrollo del uso del método de series de potencias entre otras cosas. La etapa siguiente (1820- ) fue una etapa de formalización y en ella hay dos personajes importantes Niels Henrik Abel (1802-1829) y Augustin-Louis Cauchy (1789-1857); los problemas de existencia y unicidad de la solución cobraron importancia.

DEFINICION

Toda ecuación diferencial que contiene derivadas parciales se denomina ecuación diferencial en derivadas parciales. En toda ecuación diferencial en derivadas parciales, la variable dependiente (función desconocida) deberá ser una función de por lo menos dos variables independientes ya que de no ser así no aparecerían derivadas parciales.

ORDEN DE LA EDP

El orden de una ecuación diferencial parcial es el de la derivada de mayor orden que aparezca en dicha ecuación

APLICACIONES

 Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelamiento de fenómenos físicos. Ecuación de la conducción del calor. La constante C , llamada difusivilidad, es igual a 1 donde la conductividad térmica K, el calor específico, la densidad (masa por unidad de volumen) se toman como constantes.

Esta ecuación es aplicable a las pequeñas vibraciones transversales de una cuerda flexible y tensa como la cuerda de un violín, que inicialmente se ha colocado sobre el eje y se ha hecho vibrar. La función es la elongación de un punto cualquiera de la cuerda en el instante. La constante, donde c la tensión (Cte.) de la cuerda.

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

 Definición: Se dice que una forma diferencial P(x, y) dx +Q(x, y) dy es exacta en un dominio D, si existe una función U(x, y) cuya diferencial es dicha forma en D , es decir: Si P(x, y) dx + Q(x,y) dy es exacta, entonces la ecuación diferencial P dx + Q dy = 0 se denomina ecuación diferencial exacta, o ecuación en diferenciales totales.

CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN

Elípticas: Las que no tienen derivada con respecto al tiempo son elípticas.

Ejemplo. Laplace Elíptica: Esta es una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

Parabólicas: las que tiene primera derivada con respecto al tiempo son parabólicas. Ejemplo: Difusión Parabólicas. Es la ecuación unidimensional de difusión del calor, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

Hiperbólicas: Las ecuaciones con segunda derivada con respecto al tiempo son usualmente hiperbólicas

Ejemplo: Onda Hiperbólica.

Es la ecuación de onda unidimensional, que describe fenómenos de tipo oscilatorios y es de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

SOLUCION DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES LINEALES

La solución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales lineales, resulta más complejo que la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias debido a que no existen métodos generales de resolución efectivos sino para un diverso grupo de ecuaciones.

TIPOS DE SOLUCIONES DE LAS EDP

Solución general: Toda ecuación en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas.

Solución completa: Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico mediante el método basado en la ecuación de Hamilton-Jacobi requiere una integral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde el punto de vista físico.

Métodos de Laplace: La transformada de Laplace se puede utilizar para la solución de ecuaciones diferenciales parciales de forma similar que la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Regularmente este método se emplea para solucionar ecuaciones con condiciones iníciales, es decir cuando las ecuaciones tienen derivadas con respecto al tiempo. El método consiste en aplicar la transformada de Laplace a la ecuación diferencial parcial y a las condiciones de borde, resolver la ecuación resultante y obtener la transformada inversa.

Bibliografía

https://es.slideshare.net/edvinogo/2-ecuaciones-en-derivadas-parciales

Integración múltiple

El cálculo de varias variables es una extensión del cálculo bidimensional o de una variable a más de una dimensión. Comúnmente utilizado en el espacio tridimensional. Por eso, así como la derivación tiene su abstracción multidimensional, la integración también la tiene.

La integración múltiple es el proceso de encontrar las primitivas de una función de varias variables respecto a todas las variables independientes que dicha función posea. Generalmente la aplicación más directa es la integral definida, utilizada para encontrar áreas de regiones y volúmenes de superficies en el espacio.

Integral doble

La doble integral es utilizada en funciones de dos variables independientes, de la forma z = f (x, y). La integral de esta función tiene la forma siguiente:

A la integral anterior se le llama integral iterada, pues el proceso se realiza por pasos. El orden de integración puede cambiar primero respecto a y y luego respecto a x o viceversa. El proceso consiste en integrar primero la función respecto a la primera variable y volver la otra constante para luego integrar ese resultado respecto a la variable restante.

La doble integral definida se usa para encontrar áreas o volúmenes. Para encontrar áreas no es necesario contar con una función. Por ejemplo, el área de una circunferencia con centro en el origen de radio 1

Integral triple

La integral triple se usa en funciones de la forma w = f ( x, y, z). Puede utilizarse para encontrar volúmenes de superficies o entre superficies e hipervolúmenes, que si bien poseen una magnitud, no tienen una representación física. Encontrar los límites de integración es nuevamente la tarea más compleja. En general, debería ser de la forma siguiente:

Este es el orden convencional. Sin embargo si el orden de los diferenciales cambia, también lo hacen los límites de integración. Pero la función siempre se queda intacta.

Bibliografía

https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/integracion-multiple

El calculo

El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy interesante prestar atención en el bagaje de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajaron con los métodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días.

Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna.

Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de Oresme, Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras. Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe reconocerse que una de las contribuciones previas decisivas fue la Geometría Analítica desarrollada independientemente por Descartes y Fermat.

Sin la contribución de éstos y de muchos otros hombres más, el cálculo de Newton y Leibniz seguramente no existiría. Su construcción fue parte importante de la revolución científica que vivió la Europa del siglo XVII.Los nuevos métodos enfatizaron la experiencia empírica y la descripción matemática de nuestra relación con la realidad. La revolución científica supuso una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos V y XV. Esta ruptura y salto en la historia del conocimiento estuvieron precedidos por las importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XV y XVI con el Renacimiento y la Reforma Protestante. El Cálculo Diferencial e Integral están en el corazón del tipo de conocimiento, cultura y de sociedad de la que, esencialmente, somos parte.

El extraordinario avance registrado por la matemática, la física y la técnica durante los siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al Cálculo infinitesimal y por eso se puede considerar como una de las joyas de la creación intelectual de la que el hombre puede sentirse orgulloso.

El siglo XVII y la disputa por la creación del cálculo

En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos:

Encontrar la tangente a una curva en un punto.

Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.

Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.

Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido.

El siglo XVIII

Durante buena parte del siglo los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Monge la geometría descriptiva. Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica, realizó contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de "el Newton francés".

Sin embargo el gran matemático del siglo fue el suizo Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. El éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo. La teoría de Newton se basó en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraico y basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.

A los matemáticos de fines del siglo el horizonte matemático les parecía obstruido. Se había llegado al estudio de cuestiones muy complicadas a las que no se les conocía o veía un alcance claro. Los sabios sentían la necesidad de estudiar conceptos nuevos y hallar nuevos procedimientos.

Bibliografía  

https://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Historia1.htm

Matemática del siglo XVIII

BINOMIO DE NEWTON

Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá elevar a cualquier potencia de exponente natural, n, un binomio. Esto es la forma de obtener (a+b)^n

El teorema del binomio fue descubierto en el año 1665, fue notificado por primera vez en dos cartas que fueron enviadas por el funcionario y administrativo de la Royal Society, Henry Oldenburg en el año 1676. La primera carta tenía fue fechada el 13 de junio de 1676, en respuesta a un pedido del filósofo, jurista y matemático alemán Gottfried Wilhelm von Leibniz, quien quería tener conocimiento de las labores e investigaciones de matemáticos británicos sobre series infinitas. Por lo cual Newton envía el enunciado de su teorema y un ejemplo ilustrativo. Leibniz responde, en una carta fechada el 17 de agosto de 1676, que se encuentra ante una técnica general que le permite obtener distintos resultados sobre las cuadraturas, las series, etc., y denomina algunas de sus ramificaciones por las investigaciones de Leibniz. Newton responde también con una carta en la que detalla cómo ha descubierto la serie de binomios.

Un ejemplo de este es el ejercicio que se mostrara a continuación:

Bibliografía

 https://matematica.laguia2000.com/general/binomio-de-newton

https://www.youtube.com/watch?v=FphadLBkOQk

Galileo Galilei

Galileo Galilei nació en Pisa (Italia), el 15 de Febrero de 1564 y murió Galileo en 1642, el año de nacimiento de Newton.

Aportes  importantes

En 1604, Galileo supo de la invención del telescopio en Holanda, y propuso una mejora del modelo, con el que realizó una serie de descubrimientos tales como las lunas del planeta Júpiter y las fases de Venus, similares a las observadas en la Luna.

En la Universidad de Padua, expuso una nueva teoría propuesta por Nicolas Copérnico, en la que la Tierra y todos los planetas giraban alrededor del Sol. Las observaciones realizadas por Galileo con su nuevo telescopio lo convencieron de la certeza de la teoría heliocéntrica de Copérnico.

La demostración del modelo heliocéntrico, la fabricación del primer telescopio astronómico registrado y sus postulados matemáticos sobre el movimiento de objetos y otros fenómenos físicos.

Se le suele atribuir ser uno de los primeros científicos en defender claramente que las leyes naturales son leyes matemáticas. Su trabajo experimental es considerado uno de los primeros hitos históricos en la implantación del método científico y el surgimiento de la llamada ciencia moderna.

Conflictos con la iglesia católica

Astrónomo, filosofo, matemático, físico, Galileo fue condenado, el 22 de junio de 1633, por un tribunal de la Inquisición a 'formalem carcerem' —–una especie de reclusión domiciliaria—, pero varios jueces se negaron a suscribir la sentencia, y el Papa de entonces no la firmó. Galileo pudo seguir dedicado a su ciencia

Galileo no fue condenado como hereje, ni torturado, ni quemado en la hoguera. Y hasta contó entre sus amigos a influyentes purpurados, como el cardenal Belarmino.

1992, una comisión vaticana creada por Juan Pablo II para examinar el 'caso Galileo'. De hecho, el 31 de octubre de 1992, el propio Juan Pablo II refrenda las conclusiones de la comisión y reconoce públicamente los errores cometidos por el tribunal eclesiástico que juzgó las enseñanzas científicas de Galileo

Bibliografía

http://www.iac.es/proyecto/galileo/bio_esp.html

https://www.elmundo.es/especiales/2009/06/ciencia/astronomia/galileo/conflicto_iglesia.html

https://curiosoando.com/inventos-y-descubrimientos-galileo-galilei