El límite de una
función real de variable real y = f(x) en un punto x0 de su dominio es el
concepto fundamental del cálculo. Es ´esta una noción asociada al comportamiento
de los valores de la función en los puntos vecinos del punto x0, que permite
definir la idea de continuidad y los conceptos fundamentales de derivada e integral
de una función.
La definición de
límite es reconocida como una de las máximas expresiones del discurso matemático
moderno y su manejo es imprescindible para una clara comprensión del cálculo y
sus aplicaciones. En este capítulo se presenta y se estudia la noción de límite
a partir del concepto de convergencia de sucesiones, definiéndose luego las
funciones continuas como aquellas que preservan precisamente la convergencia de
sucesiones. La diferencia entre los conceptos y métodos del cálculo y los que
usualmente se manejan en el ´algebra y la geometría, radica en que los primeros
se definen en términos de propiedades o procesos con conjuntos infinitos.
Este capítulo
incluye las demostraciones de los resultados básicos del análisis matemático y
se presentan así para ir introduciendo al estudiante en el manejo de las técnicas
de argumentación y prueba propias de esta ´área de las matemáticas.
Sucesiones reales
Una sucesión
real es un conjunto de números reales ordenado mediante el conjunto de los
números naturales.
En otras
palabras, una sucesión es un conjunto de números reales etiquetados con números
naturales, de tal manera que la etiqueta especifica el lugar o el orden que
ocupa cada elemento en la sucesión. La etiqueta, al ser un número natural, nos
señala cual es el primer elemento de la sucesión, cual el segundo, cual el
tercero, etc. Para definir una sucesión real, se necesita especificar los
números que la integran y el lugar que ocupan según el orden de sus etiquetas.
Convergencia de sucesiones
Se denota con (L
− r, L + r) y se llama intervalo abierto con centro en el número real L y radio
r > 0, al conjunto
(L − r, L + r) = {x ∈ R tales que |x − L| < r}.
Se dice que una sucesión
{si} ∞i=1 de números reales es convergente a un número real L si los elementos
de la sucesión se aproximan al número L “tanto como se quiera” a medida que
crece la magnitud de las etiquetas de esos elementos. En términos precisos, lo
anterior se enuncia de la siguiente manera:
Definición
La sucesión de números reales {si}∞ i=1
converge al número
L si para cada
intervalo I con centro L existe una etiqueta NI tal que todos los elementos de
la sucesión cuya etiqueta es posterior a NI pertenecen a dicho intervalo.
Cuando el enunciado anterior es verdadero, escribimos simbólicamente {si} ∞ i=1
→ L o lim i→∞ si = L.
Al número L se
le llama limité de la sucesión {si} ∞ i=1.
Dado que un
intervalo con centro L queda determinado por su radio r, la definición 4.2 se
puede parafrasear como sigue:
“{si} ∞ i=1
converge a L si para cada r > 0, existe un número natural Nr tal que
Si i > Nr
entonces |si − L| < r.”
Nota Importante:
Para fijar mejor
la definición anterior, considere las observaciones siguientes.
1. La definición
de sucesión convergente no dice cómo encontrar el límite de una sucesión, sino sólo
qué propiedad define al limité de una sucesión. En ese sentido, la definición sólo
dice qué debemos hacer para comprobar que un cierto número es efectivamente el limité
de la sucesión.
2. La aproximación
y acumulación de los elementos de la sucesión al límite L se expresa mediante
la pertenencia a intervalos abiertos centrados en L y cada intervalo queda
definido cuando se da el valor de su radio.
3. Para
comprobar que un número L es el limité de una sucesión, la definición nos exige
que para cada intervalo I centrado en L encontremos una etiqueta NI a partir de
la cual todos los elementos de la sucesión con etiqueta mayor pertenezcan a ese
intervalo. Esa etiqueta, cuya existencia hay que mostrar, no es la ´única con
esa propiedad ya que cualquier otra mayor que ella también tendrá esa
propiedad.
4. El valor de
la etiqueta a partir de la cual los elementos de la sucesión pertenecen a un
intervalo dado, depende del tamaño o radio de ese intervalo y mientras más pequeño
sea ese radio, en general más grande tendrá que ser la etiqueta.
5. La
convergencia de una sucesión a un número L no se altera si se modifica el valor
o el orden de cualquier número finito de elementos de la sucesión. Esto es así
porque la convergencia de una sucesión es una propiedad que sólo tiene que ver
con el comportamiento de sus elementos a la larga, es decir cuando su orden
crece indefinidamente y no depende de lo que suceda con sus primeros elementos.
Propiedades de las sucesiones convergentes
Enseguida
enunciaremos y demostraremos algunas de las propiedades más importantes de las
sucesiones convergentes. Una sucesión de números reales {ai} ∞ i=1 se dice
acotada si todos sus elementos se encuentran dentro de un intervalo cerrado de
la forma [−M, M] con M algún número mayor que cero, es decir, si −M 6 ai 6 M
para toda i = 1, 2, . . .
Sucesiones monótonas
Una sucesión de números reales {si} ∞ i=1 se
dice creciente si para cada par de etiquetas k, j = 1, 2 · · · con k > j se
tiene que sk > sj . Análogamente, la sucesión se dice decreciente si k >
j implica sk < sj. A las sucesiones crecientes o decrecientes se les llama genéricamente
sucesiones monótonas.
Criterio de convergencia de Cauchy
El criterio de
convergencia de Cauchy2 proporciona una manera de constatar la convergencia de
una sucesión sin que necesariamente se conozca su limité. Este es un resultado
de gran utilidad en el análisis matemático y aquí lo presentamos en los términos
siguientes.
Límite de una función
en un punto
Definición: Sea
f(x) una función real definida en un intervalo abierto (a, b) y x0 un punto del
intervalo cerrado [a, b]. Diremos que el limité 3de la función f(x) cuando la
variable x tiende a x0 tiene el valor L si para cada sucesión {xi} ∞ i=1 de
elementos de (a, b), distintos de x0, y que converge a x0, se tiene que la sucesión
{f(xi)} ∞ i=1 converge a L. Simbólicamente, denotaremos lo anterior escribiendo
limx→x0 f(x) = L.
Bibliografía
