Una historia de la Teoría de Conjunto

La historia de la teoría de conjuntos es bastante diferente comparada con la historia de la mayoría de las otras áreas de las matemáticas. Para la mayoría de las áreas por lo general se puede rastrear un largo proceso en el que las ideas evolucionan hasta alcanzar un resplandor final de inspiración, a menudo por un número de matemáticos casi simultáneamente, produciendo un descubrimiento de gran importancia.

La teoría de conjuntos sin embargo, es bastante diferente. Su creación se debe a una sola persona, Georg Cantor. Antes de adentrarnos en la historia principal del desarrollo de la teoría de Cantor, primero examinamos algunas contribuciones preliminares.

Georg Cantor

La idea de infinito había sido objeto de una profunda reflexión desde la época de los griegos. Zenón de Elea, alrededor de 450 aC, con sus problemas en el infinito, hizo una importante contribución. En la Edad Media, la discusión del infinito había dado lugar a la comparación de conjuntos infinitos. Por ejemplo Alberto de Sajonia, en Questiones subtilissime in libros de celo et mundi, demuestra que un haz de longitud infinita tiene el mismo volumen que el 3-espacio. Él demuestra esto cortando el haz en trozos imaginarios que luego se ensamblan en capas concéntricas sucesivas que llenan el espacio.

Bolzano fue un filósofo y matemático de pensamiento profundo. En 1847 él consideró a los conjuntos con la siguiente definición:

una realización de la idea o concepto que concebimos cuando consideramos la disposición de sus partes como una cuestión de indiferencia.

Bolzano defendió el concepto de conjunto infinito. En esa época muchos creían que no podían existir los conjuntos infinitos. Bolzano dio ejemplos para demostrar que, a diferencia de los conjuntos finitos, los elementos de un conjunto infinito podrían ponerse en correspondencia uno a uno con elementos de uno de sus subconjuntos propios. Esta idea eventualmente llegó a usarse en la definición de un conjunto finito.

Fue con el trabajo de Cantor no obstante, que la teoría de conjuntos se estableció sobre una base matemática adecuada. Los primeros trabajos de Cantor fueron en teoría de números y publicó una serie de artículos sobre este tema entre 1867 y 1871. Estos, aunque de gran calidad, no dan indicios de haber sido escritos por un hombre que estaba a punto de cambiar el curso de las matemáticas.

Un acontecimiento de gran importancia ocurrió en 1872 cuando Cantor hizo un viaje a Suiza. Cantor conoció a Richard Dedekind y comenzó una amistad la cual creció con el paso de los años. Se conservan numerosas cartas escritas entre los dos matemáticos en los años 1873-1879 y aunque éstos discuten relativamente poco de matemáticas es evidente que la forma de pensar de Dedekind, de manera profunda, lógica y abstracta, fue de gran influencia en Cantor para el desarrollo sus ideas.

Cantor cambió la teoría de números para escribir artículos acerca de series trigonométricas. Estos documentos contienen ideas preliminares sobre la teoría de conjuntos de Cantor y también resultados importantes sobre los números irracionales. Dedekind estaba trabajando de forma independiente en los números irracionales y publicó su libro Continuidad y números irracionales.

En 1874 Cantor publicó un artículo en el Crelle's Journal (Journal für die reine und angewandte Mathematik) el cual marca el nacimiento de la teoría de conjuntos. Un segundo artículo fue presentado por Cantor en el Crelle's Journal en 1878, pero la teoría de conjuntos ya se estaba convirtiendo en centro de la controversia. Kronecker, quien estaba en la redacción de Crelle's Journal, no estaba contento con las nuevas ideas revolucionarias contenidas en el documento de Cantor. Cantor fue tentado a retirar el artículo, pero Dedekind persuadió a Cantor de no retirar su artículo y Weierstrass apoyó publicación. El artículo fue publicado pero Cantor nunca presentó ningún trabajo adicional para el Crelle's Journal.

En su artículo de 1874 Cantor considera al menos dos tipos diferentes de infinito. Anteriormente no existían estos órdenes de infinito, todas las colecciones infinitas eran consideradas 'del mismo tamaño'. Sin embargo Cantor examina el conjunto de números reales algebraicos, que se puede considerar como el conjunto de todas las raíces reales de ecuaciones de la forma

anxn+an−1xn−1+an−2xn−2+⋯+a1x+a0=0,anxn+an−1xn−1+an−2xn−2+⋯+a1x+a0=0,

donde aiai es un número entero. Cantor demuestra que los números reales algebraicos están en correspondencia uno a uno con los números naturales de la siguiente manera.

Para una ecuación de la forma anterior definamos su índice como 

|an|+|an−1|+|an−2|+⋯+|a1|+|a0|+n.|an|+|an−1|+|an−2|+⋯+|a1|+|a0|+n.

Sólo hay una ecuación de índice 2, es decir, x=0.x=0. Hay 3 ecuaciones de índice 3, a saber,

2x=0,x+1=0,x−1=0yx2=0.2x=0,x+1=0,x−1=0yx2=0.

Estos dan raíces 0, 1, -1. Para cada índice sólo hay un número finito de ecuaciones y tan sólo un número finito de raíces. Realizar una correspondencia uno a uno con los números naturales es ahora sencillo, pero ordenándolos por orden de índice y magnitud creciente dentro de cada índice.

En el mismo artículo Cantor muestra que los números reales no se pueden poner en correspondencia uno a uno con los números naturales utilizando un argumento con intervalos anidados, el cual es un argumento más complejo comparado con el que se usa en la actualidad (que es de hecho debido a Cantor publicado en un artículo posterior de 1891). Cantor enfatiza entonces que esto demuestra un teorema establecido por Liouville, a saber, que hay infinitos números trascendentes (es decir, no algebraicos) en cada intervalo.

En su siguiente artículo, en el que Cantor tenía problemas de publicación en el Crelle's Journal, Cantor introduce la idea de la equivalencia de conjuntos y menciona que dos conjuntos son equivalentes o que tienen la misma potencia, si se pueden poner en correspondencia uno a uno. Cantor tomó la palabra 'potencia' de Steiner. Él demuestra que los números racionales poseen la más pequeña potencia infinita y también demuestra que RnRn tiene la misma potencia que RR. Cantor demuestra además que una cantidad numerable de copias de RR aún tiene la misma potencia que RR. En esta etapa Cantor no utiliza la palabra 'contable', la introdujo después en un artículo de 1883.

Cantor publicó un tratado de seis partes sobre la teoría de conjuntos de los años 1879 a 1884. Este trabajo apareció en la revista Mathematische Annalen y fue un acto de valentía por parte del editor de la publicación de la obra a pesar de la creciente oposición a las ideas de Cantor. La principal figura de la oposición era Kronecker quien era una figura muy influyente en ese momento en el mundo de las matemáticas.

La crítica de Kronecker se basaba en el hecho de que él sólo creía en las matemáticas constructivas. Él sólo aceptó objetos matemáticos que podrían construirse de forma finita del conjunto intuitivamente dado de números naturales. Cuando Lindemann demostró que ππ es trascendental en 1882 dijo Kronecker:

¿De qué sirve tu hermosa investigación de ππ? ¿Por qué estudiar este tipo de problemas cuando no existen los números irracionales?

Ciertamente el arreglo de Cantor de diferentes infinitos era imposible bajo esta forma de pensamiento.

Cantor sin embargo continuó con su trabajo. Su quinto trabajo en la parte seis de su tratado fue publicado en 1883 y discute conjuntos bien ordenados. Los números ordinales se introducen como los tipos de órdenes de conjuntos bien ordenados. La multiplicación y la adición de números transfinitos también se definen en este trabajo; sin embargo, Cantor daría una amplia exposición de la aritmética transfinita en obra posterior. Cantor se toma gran parte de este artículo justificando su trabajo. Afirmó, por ejemplo, que la matemática es bastante libre y cualquier concepto se puede introducir con sujeción únicamente con la condición de que estén libres de contradicciones y que además se definan estos conceptos en términos de otros conceptos previamente aceptados. También cita muchos autores anteriores que habían dado opiniones sobre el concepto de infinito, incluyendo Aristóteles, Descartes, Berkeley, Leibniz y Bolzano.

El año 1884 fue de gran crisis para Cantor. Él no estaba contento con su trabajo en Halle y le hubiera gustado ir a Berlín. Sin embargo, esta medida fue bloqueada por Schwarz y Kronecker. En 1884 Cantor escribió 52 cartas a Mittag-Leffler, en cada una ellas con declaraciones en contra de Kronecker. En este año de crisis mentales Cantor pareció perder la confianza en su propio trabajo y se concentró en el estudio de la filosofía, más que en las matemáticas. La crisis no duró demasiado tiempo y para principios de 1885 Cantor se recuperó y su fe, en su propia obra, había regresado. Sin embargo, a pesar de haber publicado una gran cantidad de trabajos importantes en los años posteriores a 1884, su genialidad quedó marcada en sus notables artículos publicados durante el período de 1874 hasta 1884.

Aunque no es de gran importancia en el desarrollo de la teoría de conjuntos cabe destacar que Peano introdujo en 1889 el símbolo ∈∈ que significa 'es un elemento de'. Su origen se deriva de la primera letra de la palabra griega ἐστί, la cual significa 'es'.

En 1885 Cantor continuó extendiendo su teoría de los números cardinales y de tipos de órdenes. Extendió su teoría de tipos de órdenes para que sus números ordinales definidos previamente se convirtieran en un caso especial. En 1895 y 1897 Cantor publicó su doble tratado final sobre la teoría de conjuntos, el cual contiene una introducción que bien parece un libro moderno de la teoría de conjuntos y define el concepto de conjunto, subconjunto, etc. Cantor demuestra que si AA y BB son conjuntos con AA equivalente a un subconjunto de BB y BB equivalente a un subconjunto de AA, entonces AA y BB son equivalentes. Este teorema también fue probado por Felix Bernstein y, también, de forma independiente por E. Schröder.

Las fechas de 1895 y 1897 son importantes para la teoría de conjuntos en dos sentidos. En 1897 la primera paradoja en teoría de conjuntos apareció y fue publicado por Cesare Burali-Forti. Algunos de los efectos de esta paradoja se perdieron ya que Burali-Forti consideró la definición de un conjunto bien ordenado de forma errónea. Sin embargo, incluso cuando la definición se corrigió, la paradoja se mantuvo. Básicamente esta paradoja gira alrededor del conjunto de todos los números ordinales. El número ordinal del conjunto de todos los ordinales debe ser un ordinal y esto lleva a una contradicción. Se cree que el mismo Cantor descubrió esta paradoja en 1885 y escribió a Hilbert al respecto en 1886, lo cual resulta inesperado pues Cantor fue muy crítico con el artículo de Burali-Forti cuando se publicó. El año 1897 fue también de gran importancia para Cantor, ya que en ese año se celebró el primer Congreso Internacional de Matemáticos en Zurich y en este se reconoció el trabajo de Cantor, considerado de gran calidad y además fue elogiado por muchos otros matemáticos incluyendo Hurwitz y Hadamard.

En 1899 Cantor descubrió otra paradoja que surge del conjunto de todos los conjuntos. ¿Cuál es el número cardinal del conjunto de todos los conjuntos? Es evidente que debe ser el mayor cardinal posible pero el cardinal del conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto siempre tiene un cardinal mayor que el propio conjunto. De esta manera, parecía que la crítica de Kronecker podría haber sido correcta, ya que la extensión del concepto de conjunto más allá de lo finito parecía producir paradojas. La 'última' paradoja fue encontrada por Russell en 1902 (también descubierta por Zermelo de forma independiente). Definamos un conjunto

A={X|Xno es un miembro deX}.A={X|Xno es un miembro deX}.

Russell entonces se preguntó: ¿Es AA un elemento de AA? Tanto el supuesto de que AA es un miembro de AA y que AA no es un miembro de AA conllevan a una contradicción. La propia construcción del conjunto parece dar una paradoja.

Russell escribió a Frege acerca de esta paradoja, quien estaba por terminar su principal tratado sobre los fundamentos de la aritmética. Frege añadió un análisis de esta paradoja a su tratado.

Un científico difícilmente puede encontrarse con algo más indeseable que ver sucumbir los cimientos de su teoría justo cuando su trabajo está terminado. En esta posición estuve debido a una carta del Sr. Bertrand Russell cuando mi trabajo estaba casi por publicarse.

En esta etapa, sin embargo, la teoría de conjuntos estaba empezando a tener un impacto importante en otras áreas de las matemáticas. Lebesgue definió 'medida' en 1901 y en 1902 definió la integral desde otro punto de vista (actualmente conocida como integral de Lebesgue) usando conceptos de la teoría de conjuntos. El Análisis necesitaba la teoría de conjuntos de Cantor, el cual no podía permitirse el lujo de limitarse a las matemáticas intuicionistas en el espíritu de Kronecker. En lugar de descartar la teoría de conjuntos, debido a las paradojas, se buscaron maneras de mantener las características principales de la teoría de conjuntos para eliminar las paradojas.

¿Las paradojas provienen del Axioma de Elección? Cantor había utilizado el Axioma de Elección sin considerar que era necesario darle un tratamiento especial. La primera persona que utilizó de manera explícita este axioma parece haber sido Peano en 1890 al realizar una demostración de la existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales. De nuevo en 1902 fue mencionado por Beppo Levi, pero el primero en introducir formalmente el axioma fue Zermelo cuando demostró, en 1904, que cada conjunto puede ser bien ordenado. Cantor había conjeturado este teorema. Émile Borel señaló que el axioma de elección es de hecho equivalente al teorema de Zermelo.

Gödel demostró, en 1940, que el axioma de elección no se puede demostrar con los otros axiomas de la teoría de conjuntos. No fue sino hasta 1963 que Paul Cohen demostró que el Axioma de Elección es independiente de los otros axiomas de la teoría de conjuntos.

La paradoja de Russell hizo sucumbir la estructura las matemáticas, en palabras de Frege. Russell, tratando de reparar el daño, hizo un intento de establecer las matemáticas sobre una base lógica en su principal obra Principia Mathematica, escrita con Whitehead. Este trabajo trata de reducir los fundamentos de las matemáticas a la lógica y fue un trabajo muy influyente. Sin embargo, el método para evitar las paradojas mediante la introducción de una 'teoría de tipos' hizo imposible decir que una clase es o no miembro de sí misma. No parecía una forma muy satisfactoria para resolver los problemas y otros matemáticos buscaron diferentes maneras.

Zermelo en 1908 fue el primero en intentar una axiomatización de la teoría de conjuntos. Muchos otros matemáticos intentaron axiomatizar teoría de conjuntos. Fraenkel, von Neumann, Bernays y Gödel son todas las figuras importantes en este desarrollo. Gödel demostró que existen limitaciones en cualquier teoría axiomática y por lo tanto los intentos realizados por muchos matemáticos como Frege y Hilbert nunca podrían alcanzarse.

Bibliografía

Tomado de: https://bestiariotopologico.blogspot.com/2015/03/una-historia-de-la-teoria-de-conjuntos.html

ORÍGENES DE LA TOPOLOGÍA

La topología es probablemente la más joven de las ramas clásicas de las matemáticas. En contraste con el álgebra, la geometría y la teoría de los números, cuyas genealogías datan de tiempos antiguos, la topología aparece en el siglo diecisiete (XVII), con el nombre de Análisis Situs, esto es, análisis de la posición.

4. Se suele decir que la topología es la “geometría de los trozos de hule (goma elástica)”, puesto que se puede dibujar en tales trozos, estirar, deformar, apretar sin romperlos, manteniéndolas propiedades topológicas de tales dibujos. Las distancias, los ángulos, el paralelismo no se mantiene; pero sí se mantienen las ideas de frontera, de corte entre curvas, de encerramiento, de orden, etcétera.

5. HISTORIA DE LA TOPOLOGÍA

Históricamente, las primeras ideas topológicas conciernen al concepto de límite yal de completitud de un espacio métrico, y se manifestaron principalmente en la crisis delos inconmensurables descubiertos por Pitágoras ante la aparición de números reales no racionales. El primer acercamiento concreto al concepto de límite y también al de integral aparece en el método de exacción de Arquímedes.

HISTORIA DE LA TOPOLOGÍA

La aparición del Análisis Matemático en el siglo XVII puso en evidencia la necesidad de formalizar el concepto de proximidad y continuidad, y la incapacidad de la Geometría para tratar este tema. Fue precisamente la fundamentación del Cálculo Infinitesimal, así como los intentos de formalizar el concepto de variedad en Geometría lo que llevó a la aparición de la Topología, a finales del siglo XIX y principios del XX.

HISTORIA DE LA TOPOLOGÍA

El término topología lo acuña por primera vez Johan Benedicta Listing, en 1836 en una carta a su antiguo profesor Müller, y posteriormente en su libro Estudios previos a la Topología (Vorstudien zur Topologie) publicado en 1847.Anteriormente se la denominaba analysis situs. Maurice Frechet introdujo el concepto de espacio métrico en 1906.

 HISTORIA DE LA TOPOLOGÍA

El origen de la Topología como disciplina científica lo inaugura la resolución por parte de Euler del problema de los Puentes de Königsberg, en 1735. Ciertamente, la resolución de Euler del problema utiliza un planteamiento topológico. La situación es exactamente análoga a la del cálculo del área de la elipse por Arquímedes.

 Fue el matemático y físico suizo Leonard Euler (1707-1783), que entonces trabajaba en la corte rusa, quien dio presentación formal a algunos aspectos de la topología tal como hoy se la concibe. Esto fue realizado en un famoso estudio sobre los puentes de Königsberg, ciudad alemana-rusa (también llamada Kaliningrado) en cuya universidad trabajó, más o menos contemporáneamente, el filósofo alemán Emmanuel Kant (1721-1804).

10. ¿Cuál era el problema estudiado por Euler? La ciudad de Königsberg era atravesada por un río (Pregel), que luego de formar una isla se dividía en dos ramas. Siete puentes permitían ir de un lado a otro y la gente se preguntaba si era posible caminar por la ciudad pasando una sola vez por cada puente. El trabajo de Euler no sólo mostró que la respuesta es negativa, sino que generalizó el problema a otros tipos de recorridos.

 ¿Qué es la Topología?

Rama de las matemáticas que estudia las propiedades de las figuras geométricas o los espacios que no se ven alteradas por ninguna clase de transformaciones. Es decir, la topología es un tipo de geometría donde está permitido doblar, estirar, encoger, retorcer los objetos, pero siempre que se haga sin romper ni separar lo que estaba unido (la transformación debe ser continua), ni pegar lo que estaba separado (la inversa también debe ser continua).

BIBLIOGRAFÍA

 https://es.slideshare.net/gsanabria73/orgenes-e-historia-de-la-topologa-14442942

RIGOR EN EL ANÁLISIS

Augustin-Louis Cauchy Muchos historiadores de la matemática afirman que el rigor en matemáticas nació con Augustin-Louis Cauchy. Todo un revolucionario, Cauchy trató de establecer una base rigurosa para el análisis matemático. Un buen ejemplo fue su demostración del teorema del valor intermedio, que afirma que toda función real f(x) continua en un intervalo [a,b] asume cada valor posible entre f(a) y f(b) en ese intervalo. Parece obvio gracias a la idea intuitiva de continuidad y de hecho hasta Cauchy nadie pensó que fuera necesario demostrarlo, pero hoy en día todos los estudiantes de matemáticas se pelean con su demostración rigurosa (aunque sin saberlo, como homenaje en memoria de Cauchy). Por cierto, Cauchy enseñó la demostración de este teorema por primera vez en el curso que impartió en la École Royale Polytechnique en 1816. Su libro de texto de 1821, admirado por más de una generación de matemáticos, presenta dos demostraciones diferentes; la más famosa, la que todos los estudiantes de matemáticas aprenden, fue relegada a un apéndice. Nos lo recuerda Michael J. Barany, “Stuck in the Middle: Cauchy’s Intermediate Value Theorem and the History of Analytic Rigor,” Notices of the AMS

 La Revolución Francesa, bajo las consignas de libertad, igualdad y fraternidad, fue acompañada de una revolución matemática. Por primera vez, la élite de los ingenieros militares y civiles comenzó a recibir una formación matemática en París que comprendía las matemáticas más avanzadas del momento. Estos ingenieros aplicaron las matemáticas que estudiaron a los problemas más acuciantes del mundo moderno: infraestructuras, la navegación, la minería, la energía e incluso a la guerra. El buque insignia de esta revolución fue la École Polytechnique (que fue rebautizada como École Royale Polytechnique tras la derrota de Napoleón y el regreso de la monarquía). En esta institución Cauchy dejó su huella como estudiante y como profesor. Cauchy fue un profesor impopular tanto entre los estudiantes como entre sus compañeros de facultad. Sus clases eran muy densas y difíciles de seguir, muchas veces prolongaba la clase más allá de su horario oficial y además realizaba continuas revisiones del temario. Para Cauchy las matemáticas del siglo XVIII eran una disciplina que había perdido el norte. Todo un siglo de innovaciones matemáticas maravillosas que habían sido logradas a costa del rigor. Matemáticos como Euler manejaban series que no eran convergentes y expresiones formales sin sentido que producían conclusiones absurdas. No estaban claros conceptos tan básicos como el de infinito, el de límite, los números imaginarios y muchos más. Cauchy admiraba la formulación axiomática de la geometría realizada por Euclides. El álgebra presentaba un estado similar, pero era considerada por los matemáticos del siglo XVIII como una herramienta, versátil, pero de poca utilidad a la hora de resolver problemas prácticos. Por el contrario, el análisis era muy útil en todo tipo de problemas prácticos, pero carecía de un formulación rigurosa. Cauchy quería que el status de la geometría y del álgebra fuera extendido al análisis. Por ello decidió revisar todo el análisis desde el punto de vista de la geometría y apoyado por el álgebra como herramienta.

Por supuesto, el “Curso de Análisis” de Cauchy, como suele ocurrir con todo trabajo pionero, carece de rigor en muchos aspectos. Por ejemplo, Cauchy asume que todas las funciones continuas son diferenciables. Sin embargo, lo importante del proyecto de reforma del análisis iniciado por Cauchy, que trata de llevar el rigor al análisis de la mano de la geometría y del álgebra, es que inició un camino hacia el rigor cuya culminación fue el motor de gran parte de la matemática de todo el siglo XIX, con la honrosa excepción del genial Henri Poincaré que vio en el rigor un corsé del que había que deshacerse. El cénit del rigor en las matemáticas llegó en el siglo XX con Nicolas Bourbaki, el nombre colectivo de un grupo de matemáticos franceses que, en los años 1930, se pusieron a revisar todos los fundamentos de las matemáticas con una exigencia absoluta en el rigor tratando de combatir la corriente que había nacido con Poincaré. Matemáticos como Jean Dieudonné, André Weil, Henri Cartan, Claude Chevalley, y otros antiguos alumnos de la Escuela Normal Superior de París recogieron el guante de Cauchy e impusieron a toda la matemática el concepto de rigor matemático como definición de la labor del matemático. Un matemático es una máquina de demostrar teoremas con absoluto rigor. La máxima revolucionaria de Bourbaki es Vive la rigueur!

BIBLIOGRAFÍA

https://es.slideshare.net/AldairHerreraFerreira/rigor-en-el-anlisis

MATRICE

Los comienzos de las matrices y los determinantes datan del siglo II AC, aunque hay indicios desde IV siglos AC. Sin embargo, no fue hasta fines del siglo XVII que las ideas reaparecieron y se desarrollaron con fuerza. Los comienzos de las matrices y los determinantes surgen a través del estudio de sistemas de ecuaciones lineales. En Babilonia se estudiaron problemas que involucraban a ecuaciones lineales simultáneas y algunos de estos son conservados en tabletas de arcilla que permanecieron en el tiempo. Por ejemplo, una tableta que data alrededor de 300 años AC contiene el siguiente problema:

"Hay dos terrenos cuya área total es de 1800 metros cuadrados. Uno produce granos en una proporción de 2/3 de una medida por yarda cuadrada mientras el otro produce granos en una proporción de 1/2 de una medida por metro cuadrado. Si la producción total es 1100 medidas, ¿Cuál es el tamaño de cada terreno?"

Los Chinos, entre los años 200 AC y 100 AC, estuvieron mucho más cerca de las matrices que los babilonios. Verdaderamente es justo decir que el texto “Nueve Capítulos de Arte Matemático”, escrito durante la Dinastía Han, da el primer ejemplo conocido sobre métodos matriciales. Por ejemplo, el problema siguiente es muy similar al ejemplo anterior dado en Babilonia:

"Hay tres tipos de cereal, de los cuales tres fardos del primero, dos del segundo, y uno del tercero hacen 39 medidas. Dos del primero, tres del segundo y 1 del tercero hacen 34 medidas. Y uno del primero, dos del segundo y tres del tercero hacen 26 medidas. ¿Cuántas medidas de cereal son contenidas en un fardo de cada tipo?"

Ahora, para resolver este problema, el autor hace algo realmente extraordinario. Coloca los coeficientes del sistema de tres ecuaciones lineales en una especie de  "tablero contador".

En nuestro siglo XX, escribimos las ecuaciones lineales por medio de filas más que por columnas pero, naturalmente, el método es idéntico. Más extraordinario, es que hace 200 años AC, el autor escribió instrucciones al lector:

1. Multiplicar la columna dos por tres y la columna tres por dos, restar la nueva columna tres a la columna dos, generando una nueva columna dos.  Luego, multiplicar la columna uno por tres y restarle la columna tres generando una nueva columna uno. El tablero contador queda así:

2. Multiplicar la columna uno por cinco y la columna dos por cuatro, restar la nueva columna dos a la columna uno, generando una nueva columna uno. El tablero contador queda así:

Con esto, tenemos la solución para el tercer tipo de cereal, de este modo se puede  encontrar la solución para el segundo y por último para el primero por medio de la sustitución hacia atrás. Este método, conocido ahora como Eliminación Gaussiana, no se volvería a retomar sino hasta inicios del siglo XIX.

  Cardan, en “Ars Magna” (1545), da una regla para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales que llama regla de modo. Resulta que esta regla  corresponde en esencia a nuestra conocida Regla de Cramer  para la resolución de  un sistema de (2 x 2).  Aunque Cardan no daba aún el  paso final,  no alcanzó la definición de determinante pero,  ahora  podemos ver que su método conducía a la definición.

Muchos resultados  estándar de teoría de matrices elementales aparecieron antes de que las matrices fueran objeto de investigación matemática. Por ejemplo, de Witt en “Elementos de curvas”, publicado como una parte de la comentada “Versión Latina de la Geometría de Descartes”  en 1660, muestra como una transformación de ejes reducen una ecuación dada de una cónica a la forma canónica. Esto resultaba de la diagonalización de una matriz simétrica  pero, de Witt nunca pensó en estos términos.

La idea de determinante apareció en Japón y Europa casi al mismo tiempo, aunque Seki en Japón ciertamente lo publicó primero. En 1683, Seki escribía “Métodos de  Resolución de problemas Disimulados”  que contienen métodos  matriciales escritos exactamente como en las tablas del método chino descrito anteriormente. Sin tener alguna palabra que correspondiera a 'determinante', Seki  los introdujo y dio métodos generales para calcularlos basados en ejemplos. Usando sus 'determinantes' Seki fue capaz de encontrar determinantes en matrices de orden (2 x 2), (3 x 3), (4 x 4) y (5 x 5)  y los aplicó para resolver ecuaciones pero, no sistemas de ecuaciones lineales. Más extraordinario aún, es que la aparición del primer determinante en Europa coincidía con el mismo año 1683. En ese año Leibniz escribía  a de l'Hôpital.

Tenía una solución porque:

Esta es exactamente la condición para que el coeficiente de la matriz tenga determinante cero. Note que Leibniz no estaba usando coeficientes numéricos pero...

"dos caracteres, el primero marcando en que ecuación  ocurre, el segundo marcando a que columna pertenece."

Así,  21 significa lo que nosotros escribimos como a21.

Leibniz estaba convencido de que una buena notación matemática era la llave hacia el progreso, así, experimentó con diferentes  notaciones para sistemas de coeficientes. Sus inéditos manuscritos contienen mas de 50 formas diferentes para escribir sistemas de coeficientes. Trabajó con esto durante un período de 50 años, comenzando en 1678. Solo dos publicaciones (1700 y 1710) contienen resultados sobre sistemas de coeficientes y estos usaron la misma notación como en su nota a de l'Hôpital. mencionada anteriormente.

Leibniz usó la palabra 'resultante' para cierta suma combinatorial de términos de un determinante. Probó resultados diversos en resultantes, incluyendo lo que en esencia corresponde a la Regla de Cramer. El también sabía que un determinante podía ser expandido usando alguna columna, método que es llamado ahora "Expansión de Laplace". Así como estudió sistemas de coeficientes de ecuaciones que lo guiaron a los determinantes, Leibniz también estudió sistemas de coeficientes de formas cuadráticas que lo llevaron, naturalmente, hacia la teoría de matrices.

Por los años 1730, Maclaurin escribió “Tratados de álgebra”  el cual no fue publicado sino hasta 1748, dos años después de su muerte. Este tratado contiene los primeros  resultados publicados sobre determinantes probando la regla de Cramer para sistemas de (2 x 2) y (3 x 3) e indicando como trabajar para sistemas de (4 x 4). Cramer daba la regla general para sistemas de (n x n)  en “Introducción  al análisis de curvas algebraicas”  (1750). Esto surgió motivado por el  deseo de encontrar la ecuación de una curva  plana pasando a través de un número dado de puntos. La regla aparece en un apéndice del documento, pero la prueba no aparece:

"Se encuentra el valor de cada incógnita formando n fracciones de las cuales el común denominador tiene tantos términos como hay permutaciones de n cosas."

Cramer  explica precisamente el cálculo de estos términos como el producto de ciertos coeficientes en las ecuaciones y como se  puede determinar el signo. El también explica como los n numeradores de las fracciones pueden ser encontrados reemplazando ciertos coeficientes en este cálculo por términos constantes del sistema.

Los trabajos sobre determinantes  empezaban a aparecer con regularidad. En 1764 Bezout daba métodos para calcular determinantes como lo hacia Vandermonde en 1771. En 1772, Laplace afirma que los métodos introducidos por Cramer y Bezout eran impracticables y, en un escrito donde él estudiaba las órbitas de planetas, discutía la solución de sistemas de ecuaciones lineales sin  calcularlos pero, usando determinantes. Más sorprendente aún, Laplace usaba la palabra 'resultante’  para denotar determinantes. Es más sorprendente que Laplace usara la misma palabra que Leibniz, más aún, teniendo presente que Laplace no conocía  el trabajo de Leibniz. Laplace daba la expansión de un  determinante como  se conoce actualmente y por ello lleva su nombre.

Lagrange, en un escrito de 1773, estudia la identidad para determinantes de (3x3). Sin embargo, este comentario es hecho en restrospectiva a partir de que Lagrangemismo no vio ninguna conexión entre su trabajo y el de Laplace y Vandermonde. Sin embargo, este escrito de 1773 sobre mecánica,  contiene por primera vez lo que nosotros conocemos ahora como la interpretación del volumen de un determinante. Lagrange mostró que el tetraedro formado por O(0,0,0) y los  tres puntos:

El término 'determinante' fue introducido por primera vez  por Gauss en “Disquisiciones Aritméticas” (1801) mientras se discutían formas cuadráticas. Gaussusó este término porque el determinante determina las propiedades de la forma cuadrática. Sin embargo, este concepto de determinante no era el mismo que conocemos ahora. En el mismo trabajo, Gauss pone los coeficientes de sus formas cuadráticas en arreglos rectangulares. Describe la multiplicación de matrices (la cual piensa como una composición, lo que implica que no había alcanzado aun el concepto de álgebra de matrices) y la inversa de una matriz en el contexto particular de los arreglos de coeficientes de formas cuadráticas.

La Eliminación Gaussiana, que primero aparece  en el texto” Nueve Capítulos de Arte Matemático” escrito 200 años AC, era usada por Gauss en sus estudios de la órbita del asteroide Pallas. Usando las observaciones de Pallas tomadas entre 1803 y 1809, Gauss obtuvo un sistema de seis ecuaciones lineales con seis incógnitas. Gauss ideó un método sistemático para resolver tales ecuaciones, el que precisamente conocemos ahora como “Eliminación Gaussiana”  con  los coeficientes de una matriz.

Fue Cauchy en 1812 quien usó el término 'determinante' en el sentido moderno. El trabajo de Cauchy es el  más completo de los primeros trabajos sobre determinantes. Él desaprobaba los primeros resultados y daba nuevos resultados propios sobre menores. En este escrito, de 1812, por primera vez fue probada la multiplicación de determinantes aunque, en la misma reunión del Instituto de Francia, Binet lee un escrito que contenía la prueba del teorema de la multiplicación pero que fue menos satisfactoria que la realizada por Cauchy.

En 1826 Cauchy, en el contexto de formas cuadráticas en n variables, usó el término 'tableau' para la matriz de coeficientes. Él encuentra el autovalores de matrices y dio resultados sobre diagonalización de una matriz en el contexto de convertir una  forma cuadrática a la suma de cuadrados. Cauchy también introdujo la idea de matrices similares (pero no el término) y mostró que si dos matrices son similares ellas tienen la misma ecuación característica. También probó, nuevamente en el contexto de formas cuadráticas,  que toda matriz simétrica real es diagonalizable.

Jacques Sturm dio una generalización del problema de los autovalores en el contexto de resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. De hecho, el concepto de autovalores apareció 80 años antes en trabajos sobre sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, hechos por D'Alembert  acerca de la generalización del movimiento de una cuerda con masas pegadas a él en diversos puntos.

Es una pena que ni Cauchy ni Jacques Sturm realizaron la generalidad de las ideas que ellos estaba introduciendo, las mostraron solo en los contextos específicos en que ellos estaban trabajando. Jacobi, alrededor 1830 y luego Kronecker y Weierstrass en los años 1850 y 1860 también miraron resultados matriciales pero otra vez en un contexto especial, esta vez relativo a  la idea de un transformación lineal.

Jacobi publicó tres tratados sobre determinantes en 1841. Esto fue de gran importancia, ya que por primera vez la definición de determinante fue hecha en forma  algorítmica y las entradas en los determinantes no fueron especificados. Así, sus resultados fueron aplicados igualmente bien a casos donde las entradas eran números o eunciones. Estos tres escritos de Jacobi hicieron la idea de determinante ampliamente conocido.

Cayley,  también publicó en 1841, la primera contribución Inglesa a la teoría de determinantes. En este escrito, uso dos líneas verticales en ambos lados del arreglo para denotar el determinante, una notación que ahora es común.

Eisenstein en 1844 denotó las sustituciones lineales con  una simple letra y mostró como sumarlas y multiplicarlas como números ordinarios excepto porque no hay commutatividad. Es justo decir que Eisenstein fue el primero en pensar las sustituciones lineales como la formación de un álgebra como pueder ser visto en la siguiente cita de su escrito de 1844:

"Un algoritmo para cálculo puede ser basado en esto,  consiste en aplicar las reglas normales para las operaciones de multiplicación, división y exponenciación a ecuaciones simbólicas. Entre sistemas lineales, ecuaciones simbólicas correctas son obtenidas siempre, teniendo en consideración que el orden de los factores no puede ser alterado."

El primero en usar el término "matriz" fue Sylvester en 1850. Sylvester definió matriz como un arreglo rectangular de términos y vio como algunas matrices contenían dentro de ellas varios determinantes representados como arreglos cuadrados. Después de dejar América, Sylvester volvió a Inglaterra en 1851, y se formó como abogado. Más tarde junto a Cayley, un abogado como él, compartió sus intereses matemáticos. Cayley rápidamente vio el significado del concepto de matriz  y en 1853 había publicado una nota dando, por primera vez, la inversa de una matriz.

Cayley, en 1858,  publicó “Memorias sobre la teoría de matrices”  que contiene  la primera definición abstracta de matriz. Él muestra que los arreglos de coeficiente estudiados tempranamente para formas cuadráticas y para transformaciones lineales son casos especiales de su concepto general. Cayley daba una definición algebraica sobre adición de matrices, multiplicación, multiplicación por un escalar y matriz  inversa. Él daba una construcción explícita de la inversa de una matriz en términos del determinante. Cayley también probó que, en el caso de matrices de orden (2 x 2), la  matriz satisface su ecuación característica propia. Él declaraba que había comprobado el resultado para matrices de orden (3 x 3), indicando su prueba, pero dice:

"Yo no tengo la condición necesaria para llevar adelante el trabajo de probar formalmente el teorema para el caso general de una matriz de cualquier grado."

Que una matriz satisfaga su ecuación característica propia es lo que se conoce como el "Teorema de Cayley-Hamilton". Es razonable preguntarse que tiene que ver esto con Hamilton. En efecto, el también probó un caso especial del teorema, para  matrices de orden (4 x 4), en el curso de sus investigaciones sobre cuaterniones.

En 1870, la forma canónica de Jordan aparece en “ Tratado sobre sustituciones y ecuaciones algebraicas”  por Jordan. Aparece en el contexto de una  forma canónica para sustituciones lineales sobre un campo finito de orden primo.

Frobenius, en 1878, escribió un importante trabajo sobre  matrices en “Sustituciones lineales y formas bilineales” cuando el no estaba consciente del trabajo de Cayley. Frobenius trabajaba en su artículo con coeficientes de formas cuadráticas y  no usa el término matriz. Sin embargo probó importantes resultados sobre matrices canónicas como representaciones de clases de equivalencia de matrices. Él menciona a Kronecker (1874)  y Weierstrass  (1868) como casos especiales de sus resultados respectivamente. Frobenius además probó el resultado general de que una matriz satisfaga su ecuación característica. Este escrito de  1878  también contiene la definición del rango de una matriz  el cual  usaba en sus trabajos sobre formas canónicas y la definición de  Matrices Ortogonales.

La nulidad de una matriz cuadrada  fue definida por Sylvester en 1884. Él definía la nulidad de A, n(A), como el mayor i tal que cada de A de orden (n-i+1)  es nula. Sylvester estaba interesado en invariantes de matrices, esto es, propiedades que cumplen algunas matrices y que no son alteradas bajo ciertas transformaciones. Sylvester provó que:

  max(n(A),n(B)) <= n(AB) <= n(A) + n(B).

En 1896, Frobenius conoció las “Memorias sobre la teoria de matrices”  de  Cayley (1858) y despues comenzó a usar el término matriz. A pesar del hecho que Cayley solo había probado el teorema de Cayley-Hamilton para matrices de (2 x 2) y (3 x 3), Frobenius generosamente atribuyó el resultado a Cayley a pesar de haber sido el, el primero en probar el teorema general.

Una definición axiomática de determinante fue usado por Weierstrass en sus clases y, despues de fallecido,  fue publicado, en 1903, en la nota “Teoría de determinantes”. En el mismo año,  también fueron publicados los apuntes de Kronecker sobre determinantes, nuevamente despues de su muerte. Con estas dos publicaciones, la teoría moderna de determinantes estaba desarrollada pero, la teoría de matrices tomaba un poco más de tiempo para convertirse en una  teoría completamente aceptada.

Un importante texto que abre un espacio para las matrices dentro de las matemáticas fue “Introduccion al álgebra lineal”  escrito por Bôcher en 1907. Turnbull  y Aitken escribieron textos influyentes en los años 1930  y Mirsky con  “Una introducción al álgebra lineal”,  en 1955, mostró laTeoría de Matrices  estableciendola como uno de los más importantes tópicos matemáticos para estudiantes de pregrado.

BIBLIOGRAFIA

http://palillo.usach.cl/Pamela/historia.htm

Qué es el álgebra simbólica

¿Qué es el álgebra simbólica?

Es la fase moderna del desarrollo del álgebra, inaugurado por Francisco Vieta en el siglo XVI, quien fue el primero en usar literales para las incógnitas y los parámetros de las ecuaciones. La palabra álgebra procede de la palabra alj-br, que significa restauración y reducción, el álgebra simbólica se encuentra precedida por el álgebra retórica y el álgebra sincopada, en el álgebra retórica (2000-1600) no existían palabras abreviadas ni símbolos especiales por ejemplo si queríamos efectuar una operación 40*10+30=430 tendríamos que escribir 40 por 10 más 30 igual a 430 esto parece resultar simple, claro siempre y cuando solo sea utilizado para operaciones cortas o no tan complejas imaginan tener que expresar un polinomio muy extenso que conste de al menos 15 términos con tres incógnitas en cada termino y cada termino con grado mayor que dos vaya que sería un gran problema es bueno saber que ya nosotros no tuvimos que pasar por un caso como éste en pocas palabras el uso del lenguaje algebraico retórica no era muy práctico que digamos, después vino el álgebra sincopada ésta ya utilizaba algunos términos técnicos pero no era de uso universal por ejemplo cada quien usaba sus términos diferentes quizá los árabes efectuaban sus cálculos de maneras distintas a los chinos, esto era un gran problema debido a las diferencias entre comerciantes en ésas épocas ni si quiera tenemos idea pero podemos imaginar que muchas de éstas diferencias no terminaban muy bien como mínimo terminaban en palabrerías entre comerciantes al no poder llegar a acuerdos lógicamente siempre han existido personas desconfiadas y como no serlo, sí por ejemplo nosotros simplemente si viajamos a un país y desconocemos el idioma que hablan no nos dará mucha confianza una comunicación con señas para poder efectuar una

2. compra es por eso que el álgebra ha visto la necesidad de la transformación como algo absolutamente necesario lo cual ha tomado mucho tiempo, después se introduce al fin el álgebra simbólica ésta ya utiliza símbolos, tales como letras para las incógnitas y consonantes a valores conocidos (constantes),prácticamente es el álgebra que utilizamos hoy en día con el cual nos podemos evitar conflictos que tenían nuestros antepasados tales como una larga escritura, diferencias debido al diferente lenguaje algebraico utilizado en alguna transacción, pero sobre todo lo más importante es que es la base de las ciencias exactas gracias al álgebra simbólica podemos efectuar cálculos ya sean muy grandes normalmente utilizados en la astronomía como calcular distancias de planetas, estrellas longitudes otras cosas, como podemos calcular también cantidades muy pequeñas como cálculos relacionados a los átomos o su masa, el álgebra nos sirve también en la vida cotidiana por ejemplo si queremos hacer un cálculo donde queremos saber cuánto podemos ahorraren un año podemos hacer una ecuación simple, si ahorramos 15 pesos diarios pondremos que x=15 y utilizaremos la variable “y” para el mes entonces solo tendríamos que efectuarla operación Y=30x lo que nos daría un resultado de y= 450 de ésta forma podemos usar el álgebra hasta en la casa, gracias al álgebra han tenido lugar muchos avances en la ciencia y tecnología, es tan importante que es necesaria para poder explicar muchos fenómenos físicos hasta calcularla simple trayectoria de una pelota de baseball conlleva el uso del álgebra como hasta algo más complejo como calcularla distancia comprendida entre un planeta de una galaxia y otro planeta en galaxia diferente gracias al lenguaje de álgebra universal que tenemos hoy en día en cuanto a matemáticas aquí y en China utilizamos un mismo lenguaje algebraico.

Bibliografía 

https://es.slideshare.net/Jesus-Rosales-m/qu-es-el-lgebra-simblica

Nacimiento del Álgebra Moderna

El álgebra (del árabe: الجبر al-ŷabr 'reintegración, recomposición') es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética.En el álgebra moderna existen áreas del álgebra que en modo alguno pueden considerarse extensiones de la aritmética (álgebra abstracta, álgebra homológica, álgebra exterior, etc.).

Durante la Edad Moderna europea tienen lugar numerosas innovaciones, y se alcanzan resultados que claramente superan los resultados obtenidos por los matemáticos árabes, persas, indios o griegos. Parte de este estímulo viene del estudio de las ecuaciones polinómicas de tercer y cuarto grado. Las soluciones para ecuaciones polinómicas de segundo grado ya era conocida por los matemáticos babilónicos cuyos resultados se difundieron por todo el mundo antiguo.

El descrubrimiento del procedimiento para encontrar soluciones algebraicas de tercer y cuarto orden se dieron en la Italia del siglo XVI. También es notable que la noción de determinante fue descubierta por el matemático japonés Kowa Seki en el siglo XVII, seguido por Gottfried Leibniz diez años más tarde, con el fin de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando matrices. Entre los siglos XVI y XVII se consolidó la noción de número complejo, con lo cual la noción de álgebra empezaba a apartarse de cantidades medibles. Gabriel Cramer también hizo un trabajo sobre matrices y determinantes en el siglo XVIII. También Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange, Adrien-Marie Legendre y numerosos matemáticos del siglo XVIII hicieron avances notables en álgebra.

El álgebra abstracta se desarrolló en el siglo XIX, inicialmente centrada en lo que hoy se conoce como teoría de Galois y en temas de la constructibilidad. Los trabajos de Gauss generalizaron numerosas estructuras algebraicas. La búsqueda de una fundamentación matemática rigurosa y una clasificación de los diferentes tipos de construcciones matemáticas llevó a crear áreas del álgebra abstracta durante el siglo XIX absolutamente independientes de nociones aritméticas o geométricas (algo que no había sucedido con el álgebra de los siglos anteriores).

Bibliografía

http://his-matematicas.blogspot.com/2016/03/nacimiento-del-algebra-moderna.html

Recuperado de: https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra

TEORÍA DE NÚMEROS XIX Y XX

Teoría de los números, es la rama de matemáticas puras que estudia las propiedades de los números en general y de los enteros en particular, así como diversos problemas derivados de su estudio.

Aritmética

La aritmética es la rama de las matemáticas que estudia ciertas operaciones de los números y sus propiedades elementales. Proviene del origen griego arithmos y techne que quieren decir respectivamente números y habilidad.

Teoría de números

Contiene una cantidad considerable de problemas que podrían ser comprendidos por "no matemáticos". De forma más general, este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros. Tal como cita Jürgen Neukirch: La teoría de números ocupa entre las disciplinas matemáticas una posición idealizada análoga a aquella que ocupan las matemáticas mismas entre las otras ciencias. El término aritmética también era utilizado para referirse a la teoría de números. Este es un término bastante antiguo, aunque ya no tan popular como en el pasado. De allí la teoría de números suele ser denominada alta aritmética, aunque el término también ha caído en desuso. Este sentido del término aritmética no debe ser confundido con la aritmética elemental, o con la rama de la lógica que estudia la aritmética de Peano como un sistema formal. Los matemáticos que estudian la teoría de números son llamados teóricos de números.

Campos

Según los métodos empleados y las preguntas que se intentan contestar, la teoría de números se subdivide en diversas ramas.

Teoría elemental de números

En la teoría elemental de números, se estudian los números enteros sin emplear técnicas procedentes de otros campos de las matemáticas. Pertenecen a la teoría elemental de números las cuestiones de divisibilidad, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor, la factorización de los enteros como producto de números primos, la búsqueda de los números perfectos y las congruencias. Son enunciados típicos el pequeño teorema de Fermat y el teorema de Euler que lo extiende, el teorema chino del resto y la ley de reciprocidad cuadrática. En esta rama se investigan las propiedades de las funciones multiplicativas como la función de Möbius y la función φ de Euler; así como las sucesiones de números enteros como los factoriales y los números de Fibonacci.

Diversos cuestionamientos dentro de la teoría elemental de números parecen simples, pero requieren consideraciones muy profundas y nuevas aproximaciones, incluyendo las siguientes:

Conjetura de Goldbach sobre que todos los números pares son la suma de dos números primos.

Conjetura de los números primos gemelos sobre la infinitud de los llamados números primos gemelos.

Último teorema de Fermat (demostrado en 1995) Hipótesis de Riemann sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann, íntimamente conectada con el problema de la distribución de los números primos.

Bibliografía

https://www.ecured.cu/Teor%C3%ADa_de_los_n%C3%BAmeros